已知a,b,c为实数,且a2+b2+c2+2ab=1,2ab(a2+b2+c2)=14,一元二次方程(a+b)x2-(2a+c)x-(a+b)=0的两根为α,β
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已知a,b,c为实数,且a2+b2+c2+2ab=1,2ab(a2+b2+c2)=14,一元二次方程(a+b)x2-(2a+c)x-(a+b)=0的两根为α,β
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知a,b,c为实数,且a
2
+b
2
+c
2
+2ab=1,2ab(a
2
+b
2
+c
2
)=
1
4
,一元二次方程(a+b)x
2
-(2a+c)x-(a+b)=0的两根为α,β.试求2α
3
+β
-5
-β
-1
的值.
答案
由已知
(
a
2
+
b
2
+
c
2
)+2ab=1
2ab(
a
2
+
b
2
+
c
2
)=
1
4
,
得a
2
+b
2
+c
2
及2ab是方程t
2
-t+
1
4
=0的两根.
而方程t
2
-t+
1
4
=0的两根为t
1
=t
2
=
1
2
,
∴a
2
+b
2
+c
2
=2ab=
1
2
.
解得
a=b=±
1
2
,c=0
,
于是,题设方程可化为x
2
-x-1=0①.
由α,β是方程①的两根,
则α+β=1,且
α
2
-α-1=0②
β
2
-β-1=0③
.
由②得α
2
=α+1,
从而α
3
=α•α
2
=α(α+1)=α
2
+α=2α+1.
显然β≠0,
将③两边分别除以β,β
2
.
得
1
β
=β-1,
1
β
2
=1-
1
β
=2-β
.
而β
-3
=β
-1
•β-2=(β-1)(2-β)=3β-β
2
-2=2β-3.
β
-5
=β
-2
•β
-3
=(2-β)(2β-3)=7β-2β
2
-6=7β-2(β+1)-6=5β-8.
∴2α
3
+β
-5
-β
-1
=4(α+β)-5=-1.
举一反三
计算:2
0
-(-
1
2
)
2
+2
2
.
题型:解答题
难度:一般
|
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题型:填空题
难度:简单
|
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已知在△ABC中,∠A、∠B都是锐角,
(sinA-
3
2
)
2
+|cosB-
1
2
|=0
,则∠C的度数是( )
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
题型:单选题
难度:简单
|
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下列运算中,正确的是( )
A.
9
=3
B.2
-3
=-6
C.(mn)
2
=mn
2
D.3x+2x=5x
2
题型:单选题
难度:一般
|
查看答案
(-
1
3
)
3
等于( )
A.
1
9
B.
-
1
9
C.
1
27
D.
-
1
27
题型:单选题
难度:一般
|
查看答案
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