已知二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴交于A(x1,0)、B(x2,0)(x1<x2)两点,与y轴交于点C,x1,x2是方程x2+4x﹣5=0的
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已知二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴交于A(x1,0)、B(x2,0)(x1<x2)两点,与y轴交于点C,x1,x2是方程x2+4x﹣5=0的
题型:不详
难度:
来源:
已知二次函数y=ax
2
+bx+c(a>0)的图象与x轴交于A(x
1
,0)、B(x
2
,0)(x
1
<x
2
)两点,与y轴交于点C,x
1
,x
2
是方程x
2
+4x﹣5=0的两根.
(1)若抛物线的顶点为D,求S
△ABC
:S
△ACD
的值;
(2)若∠ADC=90°,求二次函数的解析式.
答案
(1)1:1;(2)y=
x
2
+
x﹣
.
解析
试题分析:(1)首先解一元二次方程,求出点A、点B的坐标,得到含有字母a的抛物线的交点式;然后分别用含字母a的代数式表示出△ABC与△ACD的面积,最后得出结论;
(2)在Rt△ACD中,利用勾股定理,列出一元二次方程,求出未知系数a,得出抛物线的解析式.
试题解析:(1)解方程x
2
+4x-5=0,得x=-5或x=1,
由于x
1
<x
2
,则有x
1
=-5,x
2
=1,
∴A(-5,0),B(1,0).
抛物线的解析式为:y=a(x+5)(x-1)(a>0),
∴对称轴为直线x=-2,顶点D的坐标为(-2,-9a),
令x=0,得y=-5a,
∴C点的坐标为(0,-5a).
依题意画出图形,如右图所示,则OA=5,OB=1,AB=6,OC=5a,
过点D作DE⊥y轴于点E,则DE=2,OE=9a,CE=OE-OC=4a.
S
△ACD
=S
梯形ADEO
-S
△CDE
-S
△AOC
=
(DE+OA)•OE-
DE•CE-
OA•OC=
(2+5)•9a-
×2×4a-
×5×5a=15a,
而S
△ABC
=
AB•OC=
×6×5a=15a,
∴S
△ABC
:S
△ACD
=15a:15a=1:1;
(2)如解答图,过点D作DE⊥y轴于E
在Rt△DCE中,由勾股定理得:CD
2
=DE
2
+CE
2
=4+16a
2
,
在Rt△AOC中,由勾股定理得:AC
2
=OA
2
+OC
2
=25+25a
2
,
设对称轴x=-2与x轴交于点F,则AF=3,
在Rt△ADF中,由勾股定理得:AD
2
=AF
2
+DF
2
=9+81a
2
.
∵∠ADC=90°,∴△ACD为直角三角形,
由勾股定理得:AD
2
+CD
2
=AC
2
,
即(9+81a
2
)+(4+16a
2
)=25+25a
2
,化简得:a
2
=
,
∵a>0,
∴a=
,
∴抛物线的解析式为:y=
(x+5)(x﹣1)=
x
2
+
x﹣
.
考点: 二次函数综合题.
举一反三
二次函数
的图象可能是( )
题型:不详
难度:
|
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小明从右边的二次函数
图象中,观察得出了下面的五条信息:①
,②
,③函数的最小值为
,④当
时,
,⑤当
时,
(6)对称轴是直线x=2.你认为其中正确的个数为( )
A.2
B.3
C.4
D.5
题型:不详
难度:
|
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若
是二次函数,则m=
。
题型:不详
难度:
|
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已知二次函数
的对称轴为
,则
.
题型:不详
难度:
|
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抛物线
的图象向右移动3个单位,再向下移动4个单位,解析式是
;它的顶点坐标是
.
题型:不详
难度:
|
查看答案
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