如图所示,过点F(0,1)的直线y=kx+b与抛物线交于M(x1,y1)和N(x2,y2)两点(其中x1<0,x2<0).⑴求b的值.⑵求x1•x2的值⑶分别过
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如图所示,过点F(0,1)的直线y=kx+b与抛物线交于M(x1,y1)和N(x2,y2)两点(其中x1<0,x2<0).⑴求b的值.⑵求x1•x2的值⑶分别过
题型:不详
难度:
来源:
如图所示,过点F(0,1)的直线y=kx+b与抛物线
交于M(x
1
,y
1
)和N(x
2
,y
2
)两点(其中x
1
<0,x
2
<0).
⑴求b的值.
⑵求x
1
•x
2
的值
⑶分别过M、N作直线l:y=-1的垂线,垂足分别是M
1
、N
1
,判断△M
1
FN
1
的形状,并证明你的结论.
⑷对于过点F的任意直线MN,是否存在一条定直线m,使m与以MN为直径的圆相切.如果有,请法度出这条直线m的解析式;如果没有,请说明理由.
答案
解:⑴b=1
⑵显然
和
是方程组
的两组解,解方程组消元得
,依据“根与系数关系”得
=-4
⑶△M
1
FN
1
是直角三角形是直角三角形,理由如下:
由题知M
1
的横坐标为x
1
,N
1
的横坐标为x
2
,设M
1
N
1
交y轴于F
1
,
则F
1
M
1
•F
1
N
1
=-x
1
•x
2
=4,而F F
1
=2,所以F
1
M
1
•F
1
N
1
=F
1
F
2
,
另有∠M
1
F
1
F=∠FF
1
N
1
=90°,易证Rt△M
1
FF
1
∽Rt△N
1
FF
1
,得∠M
1
FF
1
=∠FN
1
F
1
,
故∠M
1
FN
1
=∠M
1
FF
1
+∠F
1
FN
1
=∠FN
1
F
1
+∠F
1
FN
1
=90°,所以△M
1
FN
1
是直角三角形.
⑷存在,该直线为y=-1.理由如下:
直线y=-1即为直线M
1
N
1
.
如图,设N点横坐标为m,则N点纵坐标为
,计算知NN
1
=
, NF=
,得NN
1
=NF
同理MM
1
=MF.
那么MN=MM
1
+NN
1
,作梯形MM
1
N
1
N的中位线PQ,由中位线性质知PQ=
(MM
1
+NN
1
)=
MN,即圆心到直线y=-1的距离等于圆的半径,所以y=-1总与该圆相切.
解析
此题第(1)问,很简单就是代入求值,确定函数的系数。
(2)结合问题将一次、二次函数组合转化为一元二次方程,利用“根与系数”的关系求解。
(3)直角三角形的判定涉及直角三角形相似的判定和性质的运用。
(4)用函数的加减来求距离,梯形中位线。此题综合性很强,考查学生数形结合的思想,综合了代数、几何中的重点知识要学生有很好的综合技能才可解决。
举一反三
如图(十一)所示,在平面直角坐标系Oxy中,已知点A(-,0),点C(0,3),点B是x轴上一点(位于点A的右侧),以AB为直径的圆恰好经过点C.
(1)求∠ACB的度数;
(2)已知抛物线y=ax
2
+bx+3经过A、B两点,求抛物线的解析式;
(3)线段BC上是否存在点D,使△BOD为等腰三角形.若存在,则求出所有
符合条件的点D的坐标;若不存在,请说明理由.
题型:不详
难度:
|
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一玩具厂去年生产某种玩具,成本为10元/件,出厂价为12元/件,年销售量
2万件.今年计划通过适当增加成本来提高产品档次,以拓展市场.若今年这种玩具每件的
成本比去年成本增加0.7
x
倍,今年这种玩具每件的出厂价比去年出厂价相应提高0.5
x
倍,
则预计今年年销售量将比去年年销售量增加
x
倍(本题中0<
x
≤11).
⑴用含
x
的代数式表示,今年生产的这种玩具每件的成本为________元,今年生产的这种玩具每件的出厂价为_________元.
⑵求今年这种玩具的每件利润
y
元与
x
之间的函数关系式.
⑶设今年这种玩具的年销售利润为
w
万元,求当
x
为何值时,今年的年销售利润最大?最大年销售利润是多少万元?
注:年销售利润=(每件玩具的出厂价-每件玩具的成本)×年销售量.
题型:不详
难度:
|
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如图,已知抛物线
y
=
x
2
+
bx
+
c
与
x
轴交于
A
、
B
两点(
A
点在
B
点左侧),与y
轴交于点
C
(0,-3),对称轴是直线
x
=1,直线
BC
与抛物线的对称轴交于点
D
.
⑴求抛物线的函数表达式;
⑵求直线
BC
的函数表达式;
⑶点
E
为
y
轴上一动点,
CE
的垂直平分线交
CE
于点
F
,交抛物线于
P
、
Q
两点,且点
P
在第三象限.
①当线段
PQ
=
AB
时
,求
tan
∠
CED
的值;
②当以点
C
、
D
、
E
为顶点的三角形是直角三角形时,请直接写出点
P
的坐标.
温馨提示:考生可以根据第⑶问的题意,在图中补出图形,以便作答.
题型:不详
难度:
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已知一元二次方程x
2
+bx﹣3=0的一根为﹣3,在二次函数y=x
2
+bx﹣3的图象上有三点
、
、
,y
1
、y
2
、y
3
的大小关系是( )
A.y
1
<y
2
<y
3
B.y
2
<y
1
<y
3
C.y
3
<y
1
<y
2
D.y
1
<y
3
<y
2
题型:不详
难度:
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如图l0.在平面直角坐标系xoy中,AB在x轴上,AB=10.以AB为直径的⊙O’与y轴正半轴交于点C.连接BC,AC。CD是⊙O’的切线.AD⊥CD于点D,tan∠CAD=
,抛物线
过A、B、C三点。
(1)求证:∠CAD=∠CAB;
(2)①求抛物线的解析式;
②判断抛物线的顶点E是否在直线CD上.并说明理由:
(3)在抛物线上是否存在一点P,使四边形PBCA是直角梯形.若存在,直接写出点P的坐标(不写求解过程);若不存在.请说明理由.
题型:不详
难度:
|
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