如图,在直角坐标系中,抛物线y=x2-x-2过A、B、C三点,在对称轴上存在点P,以P、A、C为顶点三角形为直角三角形.则点P的坐标是______.

如图,在直角坐标系中,抛物线y=x2-x-2过A、B、C三点,在对称轴上存在点P,以P、A、C为顶点三角形为直角三角形.则点P的坐标是______.

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如图,在直角坐标系中,抛物线y=x2-x-2过A、B、C三点,在对称轴上存在点P,以P、A、C为顶
点三角形为直角三角形.则点P的坐标是______.
答案
∵抛物线y=x2-x-2=(x-
1
2
2-
9
4

∴抛物线的对称轴为直线x=
1
2

令y=0,则x2-x-2=0,
解得x1=-1,x2=2,
∴点A(-1,0),B(2,0),
∴OA=1,OB=2,
令x=0,则y=-2,
∴点C(0,-2),
∴OC=2,
①∠PAC=90°时,如图1,设PA与y轴的交点为D,
∵∠DAO+∠CAO=90°,∠CAO+∠ACO=90°,
∴∠DAO=∠ACO,
又∵∠AOC=∠DOA=90°,
∴△ACO△DAO,
OA
OD
=
OC
OA

1
OD
=
2
1

解得OD=
1
2

所以,点D(0,
1
2
),
设直线AP解析式为y=kx+b,





-k+b=0
b=
1
2

解得





k=
1
2
b=
1
2

所以,直线AP的解析式为y=
1
2
x+
1
2

当x=
1
2
时,y=
1
2
×
1
2
+
1
2
=
3
4

所以,点P的坐标为(
1
2
3
4
);
②∠PCA=90°时,如图2,设CP的延长线与x轴相交于点D,
同①可求△ACO△CDO,
所以,
OA
OC
=
OC
OD

1
2
=
2
OD

解得OD=4,
所以,点D(4,0),
设直线CP的解析式为y=mx+n,





n=-2
4m+n=0

解得





m=
1
2
n=-2

所以,直线CP的解析式为y=
1
2
x-2,
当x=
1
2
时,y=
1
2
×
1
2
-2=-
7
4

所以,点P的坐标为(
1
2
,-
7
4
);
③∠APC=90°时,如图3,设抛物线对称轴与x轴相交于点D,过点C作CE⊥PD于点E,
∵抛物线对称轴为直线x=
1
2

∴AD=
1
2
-(-1)=
3
2
,CE=
1
2

设PD=a,则PE=PE-PD=OC-PD=2-a,
∵∠PAD+∠APD=90°,∠APD+∠CPE=90°,
∴∠PAD=∠CPE,
又∵∠ADP=∠PEC=90°,
∴△APD△PCE,
AD
PE
=
PD
CE

3
2
2-a
=
a
1
2

整理得,4a2-8a+3=0,
解得a1=
1
2
,a2=
3
2

所以,点P的坐标为(
1
2
,-
1
2
)或(
1
2
,-
3
2
),
综上所述,点P的坐标为(
1
2
3
4
)或(
1
2
,-
7
4
)或(
1
2
,-
1
2
)或(
1
2
,-
3
2
).
故答案为:(
1
2
3
4
)或(
1
2
,-
7
4
)或(
1
2
,-
1
2
)或(
1
2
,-
3
2
).
举一反三
抛物线y=-x2+bx+c的图象如图所示,则此抛物线的解析式为______.
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已知等腰直角三角形的斜边长为x,面积为y,则y与x的函数关系式为______.
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武汉银河影院对去年贺岁片《非诚勿拢》的售票情况进行调查:若票价定为20元/张,则每场可卖电影票400张,若单价每涨1元,每场就少售出8张,设每张票涨价x元(x为正整数).
(1)求每场的收入y与x的函数关系式;
(2)设某场的收入为9000元,此收入是否是最大收入?请说明理由;
(3)请借助图象分析,售价在什么范围内每趟的总收入不低于8000元?
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如图,在平面直角坐标系中,直线y=-2x+42交x轴于点A,交直线y=x于点B,抛物线y=ax2-2x+c分别交线段AB、OB于点C、D,点C和点D的横坐标分别为16和4,点P在这条抛物线上.
(1)求点C、D的纵坐标.
(2)求a、c的值.
(3)若Q为线段OB上一点,P、Q两点的纵坐标都为5,求线段PQ的长.
(4)若Q为线段OB或线段AB上一点,PQ⊥x轴,设P、Q两点间的距离为d(d>0),点Q的横坐标为m,直接写出d随m的增大而减小时m的取值范围.[参考公式:二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的顶点坐标为(-
b
2a
4ac-b2
4a
)].
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如图,已知抛物线与x交于A(-1,0)、E(3,0)两点,与y轴交于点B(0,3).
(1)求抛物线的解析式;
(2)设抛物线顶点为D,求四边形AEDB的面积.
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