(1)四边形OKPA是正方形. 证明:∵⊙P分别与两坐标轴相切, ∴PA⊥OA,PK⊥OK. ∴∠PAO=∠OKP=90°. 又∵∠AOK=90°, ∴∠PAO=∠OKP=∠AOK=90°. ∴四边形OKPA是矩形. 又∵AP=KP, ∴四边形OKPA是正方形.(2分)
(2)①连接PB,设点P的横坐标为x,则其纵坐标为. 过点P作PG⊥BC于G. ∵四边形ABCP为菱形, ∴BC=PA=PB=PC(半径). ∴△PBC为等边三角形. 在Rt△PBG中,∠PBG=60°,PB=PA=x, PG=. sin∠PBG=,即=. 解之得:x=±2(负值舍去). ∴PG=,PA=BC=2.(4分) 易知四边形OGPA是矩形,PA=OG=2,BG=CG=1, ∴OB=OG-BG=1,OC=OG+GC=3. ∴A(0,),B(1,0),C(3,0).(6分) 设二次函数解析式为:y=ax2+bx+c. 据题意得: 解之得:a=,b=-,c=. ∴二次函数关系式为:y=x2-x+.(9分)
②解法一:设直线BP的解析式为:y=ux+v,据题意得: 解之得:u=,v=-. ∴直线BP的解析式为:y=x-, 过点A作直线AM∥BP,则可得直线AM的解析式为:y=x+. 解方程组: 得:;. 过点C作直线CM∥PB,则可设直线CM的解析式为:y=x+t. ∴0=3+t. ∴t=-3. ∴直线CM的解析式为:y=x-3. 解方程组: 得:;. 综上可知,满足条件的M的坐标有四个, 分别为:(0,),(3,0),(4,),(7,8).(12分)
解法二:∵S△PAB=S△PBC=S▱PABC, ∴A(0,),C(3,0)显然满足条件. 延长AP交抛物线于点M,由抛物线与圆的轴对称性可知,PM=PA. 又∵AM∥BC, ∴S△PBM=S△PBA=S▱PABC. ∴点M的纵坐标为. 又∵点M的横坐标为AM=PA+PM=2+2=4. ∴点M(4,)符合要求. 点(7,8)的求法同解法一. 综上可知,满足条件的M的坐标有四个, 分别为:(0,),(3,0),(4,),(7,8).(12分)
解法三:延长AP交抛物线于点M,由抛物线与圆的轴对称性可知,PM=PA. 又∵AM∥BC, ∴S△PBM=S△PBA=S▱PABC. ∴点M的纵坐标为. 即x2-x+=. 解得:x1=0(舍),x2=4. ∴点M的坐标为(4,). 点(7,8)的求法同解法一. 综上可知,满足条件的M的坐标有四个, 分别为:(0,),(3,0),(4,),(7,8).(12分) |