已知抛物线y=kx2-2kx+9-k(k为常数,k≠0),且当x>0时,y>1。(1)求抛物线的顶点坐标;(2)求k的取值范围;(3)过动点P(0,n)作直线l
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已知抛物线y=kx2-2kx+9-k(k为常数,k≠0),且当x>0时,y>1。 (1)求抛物线的顶点坐标; (2)求k的取值范围; (3)过动点P(0,n)作直线l⊥y轴,点O为坐标原点。 ①当直线l与抛物线只有一个公共点时,求n关于k的函数关系式; ②当直线l与抛物线相交于A、B两点时,是否存在实数n,使得不论k在其取值范围内取任意值时,△AOB的面积为定值?如果存在,求出n的值;如果不存在,说明理由。 |
答案
解:(1)∵,, ∴抛物线的顶点坐标为(1,-2k+9); (2)依题意可得,解得0<k<4,即k的取值范围是0<k<4; (3)①当直线l与抛物线只有一个公共点时,即直线l过抛物线的顶点, 由(1)得n关于k的函数关系式为n=-2k+9(0<k<4); ②结论:存在实数n,使得△AOB的面积为定值, 理由:n=kx2-2kx+9-k,整理,得(x2-2x-1)k+(9-n)=0, ∵对于任意的k值,上式恒成立, ∴,解得, ∴当n=9时,对k在其取值范围内的任意值,抛物线的图象都通过点(1-,9)和点(1+,9), 即△AOB的底AB=2,高为9,因此△AOB的面积为定值9。 |
举一反三
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