已知抛物线y=3ax2+2bx+c, (1)若a=b=1,c=﹣1,求该抛物线与x轴公共点的坐标;(2)若a=b=1,且当﹣1<x<1时,抛物线与x轴有且只有一
题型:北京期中题难度:来源:
已知抛物线y=3ax2+2bx+c, (1)若a=b=1,c=﹣1,求该抛物线与x轴公共点的坐标; (2)若a=b=1,且当﹣1<x<1时,抛物线与x轴有且只有一个公共点,求c的取值范围; (3)若a+b+c=0,且x1=0时,对应的y1>0;x2=1时,对应的y2>0,试判断当0<x<1时,抛物线与x轴是否有公共点?若有,请证明你的结论;若没有,阐述理由. |
答案
解:(1)当a=b=1,c=﹣1时,抛物线为y=3x2+2x﹣1, 方程3x2+2x﹣1=0的两个根为x1=﹣1,. ∴该抛物线与x轴公共点的坐标是(﹣1,0)和(,0); (2)当a=b=1时,抛物线为y=3x2+2x+c,且与x轴有公共点. 对于方程3x2+2x+c=0,判别式△=4﹣12c≥0,有c≤. ①当时,由方程3x2+2x+=0,解得x1=x2=﹣. 此时抛物线为y=3x2+2x+与x轴只有一个公共点(﹣,0); ②当时,x1=﹣1时,y1=3﹣2+c=1+c;x2=1时,y2=3+2+c=5+c. 由已知﹣1<x<1时,该抛物线与x轴有且只有一个公共点,考虑其对称轴为, 应有即, 解得﹣5<c≤﹣1. 综上,或﹣5<c≤﹣1. (3)对于二次函数y=3ax2+2bx+c, 由已知x1=0时,y1=c>0;x2=1时,y2=3a+2b+c>0, 又∵a+b+c=0, ∴3a+2b+c=(a+b+c)+2a+b=2a+b. ∴2a+b>0. ∵b=﹣a﹣c, ∴2a﹣a﹣c>0,即a﹣c>0. ∴a>c>0. ∵关于x的一元二次方程3ax2+2bx+c=0的判别式△=4b2﹣12ac=4(a+c)2﹣12ac=4[(a﹣c)2+ac]>0, ∴抛物线y=3ax2+2bx+c与x轴有两个公共点,顶点在x轴下方. 又该抛物线的对称轴,由a+b+c=0,c>0,2a+b>0,得﹣2a<b<﹣a, ∴. 又由已知x1=0时,y1>0;x2=1时,y2>0, 观察图象,可知在0<x<1范围内,该抛物线与x轴有两个公共点.
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举一反三
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,根据图象解答下列问题: (1)写出方程ax2+bx+c=0的两个根; (2)写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围. |
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根据下列表格中y=ax2+ bx +c的自变量x与函数值y的对应值,判断方程ax2 +bx +c =0(a≠0,a,b,c为常数)的一个解x的范围是 |
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A.6 <x <6.17 B.6.17<x <6. 18 C.6.18 <x <6. 19 D.6.19 <x<6.20 |
已知抛物线 (1)试说明:无论m为何实数,该抛物线与x轴总有两个不同的交点; (2)如图,当该抛物线的对称轴为直线x=3时,抛物线的顶点为点C,直线y=x-1与抛物线交于A、B两点.并与它的对称轴交于点D. ①抛物线上是否存在一点P使得四边形ACPD是正方形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由; ②平移直线CD.交直线AB于点M,交抛物线于点N,通过怎样的平移能使得C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形. |
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抛物线y=ax2+bx+c过(2,6),(4,6)两点,一元二次方程ax2+bx+c=k,当k>7时无实数根,当k≤7时有实数根,则抛物线的顶点坐标是______. |
已知函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,那么函数y′=ax2+bx+c+3的图象与x轴的交点个数有( ) |
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