已知等边△ABC和三角形内一点P，设点P到△ABC三边的距离分别为h1、h2、h3，△ABC的高为h。（1）请写出h与h1、h2、h3的关系式，并说明理由；（2

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已知等边△ABC和三角形内一点P，设点P到△ABC三边的距离分别为h₁、h₂、h₃，△ABC的高为h。
（1）请写出h与h₁、h₂、h₃的关系式，并说明理由；
（2）若点P在等边△ABC的边上，仍有上述关系吗？
（3）若点P在三角形外，仍有上述关系吗？若有，请你证明，若没有，请你写出它们新的关系式，并给予证明。

答案

解：（1）连接PA，PB，PC，则S_△ABC=S_△PAC+S_△PBC+S_△PAB，
∴BCh=ABh₁+ACh₂+BCh₃，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，
∴h=h₁+h₂+h₃；
（2）仍有h=h₁+h₂+h₃；
理由：如图：设P在AC上，则h₂=0，
连接PB，则S_△ABC=S_△PBC+S_△PAB，
∴BCh=ABh₁+BCh₃，
∵△ABC是等边三角形，AB=BC=AC，
∴h=h₁+h₃；
即h=h₁+h₂+h₃；
（3）h＜h₁+h₂+h₃，连接PA，PB，PC，
则S_△ABC＜S_△PAC+S_△PBC+S_△PAB，
∴BCh＜ABh₁+ACh₂+BCh₃，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，
∴h＜h₁+h₂+h₃。