如图，四边形ABCD中，∠F为四边形ABCD的∠ABC的角平分线及外角∠DCE的平分线所在的直线构成的锐角，若设∠A=α，∠D=β；（1）如图①，α+β＞180

题型：江苏省期末题难度：来源：

如图，四边形ABCD中，∠F为四边形ABCD的∠ABC的角平分线及外角∠DCE的平分线所在的直线构成的锐角，若设∠A=α，∠D=β；
（1）如图①，α+β＞180°，试用α，β表示∠F；
（2）如图②，α+β＜180°，请在图中画出∠F，并试用α，β表示∠F；
（3）一定存在∠F吗？如有，求出∠F的值，如不一定，指出α，β满足什么条件时，不存在∠F．

答案

解：（1）∵∠ABC+∠DCB=360°﹣（α+β），
∴∠ABC+（180°﹣∠DCE）=360°﹣（α+β）=2∠FBC+（180°﹣2∠DCF）=180°﹣2（∠DCF﹣∠FBC）
=180°﹣2∠F，
∴360°﹣（α+β）=180°﹣2∠F，
2∠F=α+β﹣180°，
∴∠F= （α+β）﹣90°；
（2）∵∠ABC+∠DCB=360°﹣（α+β），
∴∠ABC+（180°﹣∠DCE）=360°﹣（α+β）=2∠GBC+（180°﹣2∠HCE）=180°+2（∠GBC﹣∠HCE）
=180°+2∠F，
∴360°﹣（α+β）=180°+2∠F，
∠F=90°﹣（α+β）；
（3）α+β=180°时，不存在∠F．