八（1）班同学上数学活动课，利用角尺平分一个角（如图）.设计了如下方案： （Ⅰ）∠AOB是一个任意角，将角尺的直角顶点P介于射线OA、OB之间，移动角尺使角尺两

题型：河南省期中题难度：来源：

八（1）班同学上数学活动课，利用角尺平分一个角（如图）.
设计了如下方案：
（Ⅰ）∠AOB是一个任意角，将角尺的直角顶点P介于射线OA、OB之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与M、N重合，即PM=PN，过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线.
（Ⅱ）∠AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM=ON，将角尺的直角顶点P介于射线OA、OB之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与M、N重合，即PM=PN，过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线.
（1）方案（Ⅰ）、方案（Ⅱ）是否可行？若可行，请证明；若不可行，请说明理由.
（2）在方案（Ⅰ）PM=PN的情况下，继续移动角尺，同时使PM⊥OA，PN⊥OB.此方案是否可行？请说明理由.

答案

解：（1）方案（Ⅰ）不可行.缺少证明三角形全等的条件.
方案（Ⅱ）可行.
证明：在△OPM和△OPN中

∴△OPM≌△OPN(SSS)
∴∠AOP=∠BOP(全等三角形对应角相等)
（2）当∠AOB是直角时，此方案可行.
∵四边形内角和为360°，
又若PM⊥OA,PN⊥OB，∠OMP=∠ONP=90°，∠MPN=90°，
∴∠AOB=90°
∵若PM⊥OA，PN⊥OB，且PM=PN
∴OP为∠AOB的平分线.(到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上)
当∠AOB不为直角时，此方案不可行.