如图，将正△ABC分割成m个边长为1的小正三角形和一个黑色菱形，这个黑色菱形可分割成n个边长为1的小三角形，若mn=4725，则△ABC的边长是______．

题型：不详难度：来源：

如图，将正△ABC分割成m个边长为1的小正三角形和一个黑色菱形，这个黑色菱形可分割成n个边长为1的小三角形，若

m

n

=

47

25

，则△ABC的边长是______．

答案

设正△ABC的边长为x，则高为

3

2

x，
S_△ABC=

1

2

x•

3

2

x=

3

4

x²，
∵所分成的都是正三角形，
∴结合图形可得黑色菱形的较长的对角线为

3

2

x-

3

，较短的对角线为（

3

2

x-

3

）

3

3

=

1

2

x-1，
∴黑色菱形的面积=

1

2

（

3

2

x-

3

）（

1

2

x-1）=

3

8

（x-2）²，
∴

m

n

=

3 4 x2- 3 8 (x-2)2

3 8 (x-2)2

=

47

25

，
整理得，11x²-144x+144=0，
解得x₁=

12

11

（不符合题意，舍去），x₂=12，
所以，△ABC的边长是12．
故答案为：12．