已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，BD⊥CD，过点A作AE⊥BD，垂足为点E．（1）求证：ADCB=DEBD；（2）如果BD平分∠ABC，求

题型：静安区一模难度：来源：

已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，BD⊥CD，过点A作AE⊥BD，垂足为点E．
（1）求证：

AD

CB

=

DE

BD

；
（2）如果BD平分∠ABC，求证：AE=

1

2

CD．

答案

证明：（1）∵AD∥BC，
∴∠ADE=∠CBD，
又BD⊥CD，AE⊥BD，
∴∠AED=∠CDB=90°，
∴△ADE∽△CBD，
∴

AD

CB

=

DE

BD

；

（2）过D作DF∥AB，交BC于F，


∵AD∥BC，DF∥AB，
∴四边形ABFD为平行四边形，
∴AB=CD=DF，∴∠DFC=∠C，
∵AD∥BC，
∴∠ADE=∠CBD，
又BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，
∴∠ABD=∠ADB，
∴AD=AB，
∴四边形ABFD为菱形，
∴BF=DF，
∴∠DBF=∠BDF，
又∠DFC为△DFB的外角，
∴∠DFC=∠DBF+∠BDF=2∠DBF，
∴∠C=2∠DBF，又∠BDC=90°，
∴∠DBF=30°，
∴∠ABD=30°，
∴在Rt△ABE中，AE=

1

2

AB，
∴AE=

1

2

CD．