如图1,在△ABC中,D、E、F分别为三边的中点,G点在边AB上,且DG平分△ABC的周长,设BC=a、AC=b、AB=c.(1)求线段BG的长;(2)求证:D
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如图1,在△ABC中,D、E、F分别为三边的中点,G点在边AB上,且DG平分△ABC的周长,设BC=a、AC=b、AB=c.(1)求线段BG的长;(2)求证:D
题型:不详
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如图1,在△ABC中,D、E、F分别为三边的中点,G点在边AB上,且DG平分△ABC的周长,设BC=a、AC=b、AB=c.
(1)求线段BG的长;
(2)求证:DG平分∠EDF;
(3)连接CG,如图2,若△GBD ∽△GDF,求证:BG⊥CG.
答案
(1)
(b+c);(2)证明见解析;(3)证明见解析.
解析
试题分析:(1)由△BDG与四边形ACDG的周长相等与BD=CD,易得BG=AC+AG,即可得BG=
(AB+AC);
(2)由点D、F分别是BC、AB的中点,利用三角形中位线的性质,易得DF=
AC=
b,由FG=BG-BF,求得DF=FG,又由DE∥AB,即可求得∠FDG=∠EDG;
(3)由△BDG与△DFG相似,∠DFG>∠B,∠BGD=∠DGF(公共角),可得∠B=∠FDG,又由(2)得:∠FGD=∠FDG,易证得DG=BD=CD,可得B、G、C三点在以BC为直径的圆周上,由圆周角定理,即可得BG⊥CG.
试题解析:(1)解:∵△BDG与四边形ACDG的周长相等,
∴BD+BG+DG=AC+CD+DG+AG,
∵D是BC的中点,
∴BD=CD,
∴BG=AC+AG,
∵BG+(AC+AG)=AB+AC,
∴BG=
(AB+AC)=
(b+c);
(2)证明:∵点D、F分别是BC、AB的中点,
∴DF=
AC=
b,BF=
AB=
c,
又∵FG=BG-BF=
(b+c)-
c=
b,
∴DF=FG,
∴∠FDG=∠FGD,
∵点D、E分别是BC、AC的中点,
∴DE∥AB,
∴∠EDG=∠FGD,
∴∠FDG=∠EDG,
即DG平分∠EDF;
(3)证明:∵△BDG与△DFG相似,∠DFG>∠B,∠BGD=∠DGF(公共角),
∴∠B=∠FDG,
由(2)得:∠FGD=∠FDG,
∴∠FGD=∠B,
∴DG=BD,
∵BD=CD,
∴DG=BD=CD,
∴B、G、C三点在以BC为直径的圆周上,
∴∠BGC=90°,
即BG⊥CG.
举一反三
如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图,点P处放一水平的平面镜,光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处,已知AB⊥BD,CD⊥BD,且测得AB=1.2米,BP=1.8米,PD=12米, 那么该古城墙的高度是( )
A.6米
B.8米
C.18米
D.24米
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已知
∽
,且相似比为
,若
中
边上的中线
,则
中
边上的中线
=
.
题型:不详
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如图,小明在A时测得某树的影长为3米,B时又测得该树的影长为12米,若两次日照的光线互相垂直,则树的高度为__________米.
题型:不详
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如图,在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,DE∥BC,已知AE=6,
,则EC的长是( )
A.4.5
B.8
C.10.5
D.14
题型:不详
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数学课上,张老师出示图1和下面的条件:如图1,两个等腰直角三角板ABC和DEF有一条边在同一条直线l上,DE=2,AB=1.将直线EB绕点E逆时针旋转45°,交直线AD于点M.将图1中的三角板ABC沿直线l向右平移,设C、E两点间的距离为k.
解答问题:
(1)①当点C与点F重合时,如图2所示,可得
的值为
;
②在平移过程中,
的值为
(用含k的代数式表示);
(2)将图2中的三角板ABC绕点C逆时针旋转,原题中的其他条件保持不变.当点A落在线段DF上时,如图3所示,请补全图形,计算
的值;
(3)将图1中的三角板ABC绕点C逆时针旋转α度,0<α≤90,原题中的其他条件保持不变.计算
的值(用含k的代数式表示).
题型:不详
难度:
|
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