试题分析:解:(1)证明:如答图1,连接OG.
∵EG为切线,∴∠KGE+∠OGA=90°.………1分 ∵CD⊥AB,∴∠AKH+∠OAG=90°. 又OA=OG,∴∠OGA=∠OAG. ……………2分 ∴∠KGE=∠AKH=∠GKE.∴KE=GE.………3分 (2)=KD·GE.理由如下: 连接GD,如答图2所示.
∵AC∥EF,∴∠E=∠C. …………………4分 又∵∠C=∠AGD,∴∠E=∠AGD. ∵∠KGE=∠GKE,∴△GKD∽△EGK.…………5分 ∴.∴KG2=KD•GE.…………………6分 (3)连接OG,OC,如答图3所示.
由(2)∠E=∠ACH,∴sinE=sin∠ACH=.………7分 ∴可设AH=3t,则AC=5t,CH=4t. ∵KE=GE,AC∥EF,∴CK=AC=5t.∴HK=CK﹣CH=t. 在Rt△AHK中,根据勾股定理得AH2+HK2=AK2, 即(3t)2+t2=,解得t=.…………………8分 设⊙O半径为r,在Rt△OCH中,OC=r,OH=r﹣3t,CH=4t, 由勾股定理得:OH2+CH2=OC2,即(﹣3t)2+(4t)2=2. 解得. ………………………………………………………9分 ∵EF为切线,∴△OGF为直角三角形. 在Rt△OGF中,OG==,tan∠OFG=tan∠CAH==, ∴FG=. ……………………………………10分 点评:此题比较综合,把几个知识点综合起来考察,主要要求学生对学过知识的提取与运用。 |