Rt△ABC在平面直角坐标系中的初始位置如图1所示，∠C=90°，AB=6，AC=3，点A在x轴上由原点O开始向右滑动，同时点B在y轴上也随之向点O滑动，如图2

题型：北京期末题难度：来源：

Rt△ABC在平面直角坐标系中的初始位置如图1所示，∠C=90°，AB=6，AC=3，点A在x轴上由原点O开始向右滑动，同时点B在y轴上也随之向点O滑动，如图2所示；当点B滑动至点O重合时，运动结束。在上述运动过程中，⊙G始终以AB为直径。
（1）试判断在运动过程中，原点O与⊙G的位置关系，并说明理由；
（2）设点C坐标为（x，y），试求出y与x的关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）根据对问题（1）、（2）的探究，请你求出整个过程中点C运动的路径的长。

答案

解：（1）原点O与⊙G的位置关系是：点O在⊙G上；如图3，连结OG，∵∠AOB是直角，G为AB中点， ∴GO=AB=半径，故原点O始终在⊙G上；（2）∵∠ACB=90°，AB=6，AC=3，
∴∠ABC=30°，连结OC，过点C作CD⊥x轴于点D，如图4，
∴∠AOC=∠ABC=30°，
在Rt△ODC中，tan∠COD=，即tan30°=，
∴y与x的关系式是：，自变量x的取值范围是；（3）∵由（2）中的结论可知，点C在与x轴夹角为30°的射线上运动，∴如图5，
点C的运动路径为：C₁C₂=OC₂-OC₁=6-3=3；
如图6，点C的运动路径为：C₂C₃=OC₂-OC₃=6-3；
∴总路径为：C₁C₂+C₂C₃=3+6-3=9-3。