如图等腰梯形ABCD是⊙O的内接四边形，AD∥BC，AC平分∠BCD，∠ADC=120°，四边形ABCD的周长为15． （1）求证：BC是直径；（2）求图中阴影

题型：福建省期末题难度：来源：

如图等腰梯形ABCD是⊙O的内接四边形，AD∥BC，AC平分∠BCD，∠ADC=120°，四边形ABCD的周长为15．
（1）求证：BC是直径；
（2）求图中阴影部分的面积．

答案

解：(1)证明：∵等腰梯形ABCD是⊙O的内接四边形，
   ∴∠ADC+∠ABC=180°
  ∴∠ABC=180°―∠ADC=180°―120°=60°
   ∴∠DCB=∠ABC=60°
   ∵AC平分∠BCD，
   ∴∠ACD=∠ACB=30°
   ∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，
   ∴∠BAC=90°
   ∴BC是直径
 （2）∵AD∥BC， ∴∠DAC=∠ACB=30^。
   ∴∠DAC=∠DCA. ∴AD=DC
  设CD=x，得AB=AD=DC=x，
   ∵∠BAC=90°，∠ACB=30°，
  ∴BC=2x
  ∵四边形ABCD的周长为15， ∴x=3
  ∴BC=6,AO=DO=3，
  连接AO、DO， ∠AOD=2∠ACD=60°
  ∵△ADO和△ADC同底等高， ∴S_△ADO =S_△ADC
  ∴图中阴影部分的面积=扇形AOD的面积=