解:(1)∵AB为直径, ∴∠ACB=90°, 即:AC⊥BC, 又∵OE⊥BC, ∴OE∥AC, ∴∠BAC=∠FOB, 又∵BN是半圆的切线, ∴∠BCA=∠FBO=90°, ∴△ACB∽△OBF; | |
(2)由△ACB∽△OBF得,∠OFB=∠DBA,∠DAB=∠OBF=90°, ∴△ABD∽△BFO, △ABD与△BFO的面积相等时,△ABD≌△BFO, ∴AD=OB=1, 如图,连接OP, ∵DPQ是半圆O的切线, ∴AO=OP=DP=AD=1,OP⊥DP, ∴四边形AOPD是正方形, ∴四边形OBQP是正方形, ∴BQ=OB=1; | |
(3)由(2)知,△ABD∽△BFO, ∴, ∴, ∵DPQ是半圆O的切线, ∴AD=DP,QB=BQ, 过Q点作AM的垂线QK,垂足为K, 在Rt△DQK中, DQ2=QK2+DK2, ∴(AD+BQ)2=22+(AD-BQ)2, ∴, ∴BF=2BQ, ∴Q为BF的中点。 | |