将一幅三角板Rt△ABC和Rt△DEF按如图1摆放,点E, A, D, B在一条直线上,且D是AB的中点,将Rt△DEF绕点D顺时针方向旋转(0°<<90°)角
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将一幅三角板Rt△ABC和Rt△DEF按如图1摆放,点E, A, D, B在一条直线上,且D是AB的中点,将Rt△DEF绕点D顺时针方向旋转(0°<<90°)角
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将一幅三角板Rt△ABC和Rt△DEF按如图1摆放,点E, A, D, B在一条直线上,且D是AB的中点,将Rt△DEF绕点D顺时针方向旋转
(0°<
<90°)角,在旋转过程中,直线DE与AC相交于点M,直线DF与BC相交于点N,分别过点M, N作直线AB的垂线,垂足分别为G, H.
(1)当
=30°时(如图2),求证:AG=DH;
(2)当
=60°时(如图3),(1)中的结论是否仍成立?请写出你的结论,并说明理由.
答案
见解析.
解析
试题分析:(1)由α=30°知∠ADM=30°,∠A=30°,所以∠ADM=∠A.AM=DM.又由MG⊥AD于G,可得:AG=
AD.又有∠CDB=180°-∠EDF-∠ADM=60°,∠B=60°,证得△CDB是等边三角形.又CH⊥DB于H,DH=
DB.根据直角三角形中30°所对直角边是斜边的一半得:BC=
AB.由BC=BD,所以有AD=DB.从而证得AG=DH.
(2)在△AMD与△DNB中,∠A=∠NDB=30°,AD=DB,∠MDA=∠B=60°,可得△AMD≌△DNB,所以AM=DN.在△AMG与△DNH中,∠A=∠NDB,∠MGA=∠NHD=90°,又可证得△AMG≌△DNH.
∴AG=DH.
试题解析:(1)∵α=30°,∴∠ADM=30°,
∵∠A=30°,∴∠ADM=∠A.
∴AM=DM.
又∵MG⊥AD于G,
∴AG=
AD.
∵∠CDB=180°-∠EDF-∠ADM=60°,∠B=60°,
∴△CDB是等边三角形.
又∵CH⊥DB于H,
∴DH=
DB.
∵在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,
∴BC=
AB.
∵BC=BD,∴AD=DB.
∴AG=DH.
(2)结论成立.理由如下:
在△AMD与△DNB中,∠A=∠NDB=30°,AD=DB,∠MDA=∠B=60°,
∴△AMD≌△DNB,
∴AM=DN.
又∵在△AMG与△DNH中,∠A=∠NDB,∠MGA=∠NHD=90°,
∴△AMG≌△DNH.
∴AG="DH" .
举一反三
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(1)旋转中心是点
,旋转的度数是
度;
(2)连结PP′,△BPP′的形状是
三角形;
(3)若PB=4,求△BPP′的周长。
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A. B. C. D.
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下面四张扑克牌中,图案属于中心对称的是( )
A.
B.
C.
D.
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