已知函数f(x)对任意实数x,y恒有f(x+y)=f(x)+f(y),且当x>0时,f(x)<0,又f(1)=-2.(1)判断f(x)的奇偶性; (
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数f(x)对任意实数x,y恒有f(x+y)=f(x)+f(y),且当x>0时,f(x)<0,又f(1)=-2. (1)判断f(x)的奇偶性; (2)求证:f(x)是R上的减函数; (3)求f(x)在区间[-3,3]上的值域; (4)若∀x∈R,不等式f(ax2)-2f(x)<f(x)+4恒成立,求a的取值范围. |
答案
(1)奇函数 (2)见解析 (3)[-6,6] (4)(,+∞) |
解析
解:(1)取x=y=0,则f(0+0)=2f(0),∴f(0)=0. 取y=-x,则f(x-x)=f(x)+f(-x), ∴f(-x)=-f(x)对任意x∈R恒成立,∴f(x)为奇函数. (2)证明: 任取x1,x2∈(-∞,+∞),且x1<x2,则x2-x1>0,f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1)<0, ∴f(x2)<-f(-x1),又f(x)为奇函数, ∴f(x1)>f(x2). ∴f(x)是R上的减函数. (3)由(2)知f(x)在R上为减函数, ∴对任意x∈[-3,3],恒有f(3)≤f(x)≤f(-3), ∵f(3)=f(2)+f(1)=f(1)+f(1)+f(1)=-2×3=-6, ∴f(-3)=-f(3)=6,f(x)在[-3,3]上的值域为[-6,6]. (4)f(x)为奇函数,整理原式得f(ax2)+f(-2x)<f(x)+f(-2), 则f(ax2-2x)<f(x-2), ∵f(x)在(-∞,+∞)上是减函数,∴ax2-2x>x-2, 当a=0时,-2x>x-2在R上不是恒成立,与题意矛盾; 当a>0时,ax2-2x-x+2>0,要使不等式恒成立,则Δ=9-8a<0,即a>; 当a<0时,ax2-3x+2>0在R上不是恒成立,不合题意. 综上所述,a的取值范围为(,+∞). |
举一反三
已知函数, 则此函数的定义域为 . |
函数的定义域是 ( )A.(-,-1) | B.(1,+) | C.(-1,+) | D.(-1,1)∪(1,+) |
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某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量(单位:千克)与销售价格(单位:元/千克)满足关系式其中为常数。己知销售价格为5元/千克时,每日可售出该商品11千克. (1)求的值; (2)若该商品的成本为3元/千克,试确定销售价格的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大. |
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