本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。求解函数的极值,和不等式的恒成立问题,以及证明不等式。 解:(Ⅰ)因为, x0,则, 求解导数,判定函数单调性,得到极值。 因为函数在区间(其中)上存在极值, 得到参数k的范围。 (Ⅱ)不等式,又,则 ,构造新函数,则 令,则, 分析单调性得到证明。 (Ⅲ)由(2)知:当时,恒成立,即,, 令 ,则;可以证明。
解:(Ⅰ)因为, x0,则, 当时,;当时,. 所以在(0,1)上单调递增;在上单调递减, 所以函数在处取得极大值;……….2分 因为函数在区间(其中)上存在极值, 所以 解得;……….4分 (Ⅱ)不等式,又,则 ,,则;……….6分 令,则, ,在上单调递增,, 从而, 故在上也单调递增, 所以, 所以. ;……….8分 (Ⅲ)由(2)知:当时,恒成立,即,, 令 ,则;……….10分 所以 ,,…… , n个不等式相加得 即……….14分 |