已知函数f(x)是正比例函数,g(x)是反比例函数,且f(1)=1,g(1)=1,(1)求函数f(x)和g(x);(2)判断函数F(x)=f(x)+g(x)在[
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已知函数f(x)是正比例函数,g(x)是反比例函数,且f(1)=1,g(1)=1, (1)求函数f(x)和g(x); (2)判断函数F(x)=f(x)+g(x)在[1,2]上的单调性,并证明; (3)求函数F(x)在[1,2]上的值域. |
答案
(1)∵函数f(x)是正比例函数,g(x)是反比例函数, ∴设f(x)=k1x,k1≠0,g(x)=,k2≠0, ∵f(1)=1,g(1)=1, ∴k1=1,k2=1, ∴f(x)=x,g(x)=. (2)∵F(x)=f(x)+g(x), ∴由(1)知F(x)=x+.它在[1,2]上的单调递增.证明如下: 在[1,2]上任取x1,x2,令x1<x2, F(x1)-F(x2)=(x1+)-(x2+) =(x1-x2)+(-) =(x1-x2)+ =(x1-x2)(1-), ∵1≤x1<x2≤2, ∴x1-x2<0,1->0, ∴F(x1)-F(x2)=(x1-x2)(1-)<0, ∴函数F(x)=f(x)+g(x)在[1,2]上的单调递增. (3)∵函数F(x)=x+在[1,2]上的单调递增, ∴f(x)min=f(1)=1+1=2, f(x)max=f(2)=2+=. 故函数F(x)在[1,2]上的值域为[2,]. |
举一反三
函数f(x)=+lg(x+1)的定义域是______. |
函数y=-的定义域是( )A.(-∞,1] | B.(-∞,-1)∪(-1,1] | C.(-∞,1) | D.(-∞,-1) |
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已知函数f(x)=(x∈[2,6]) (1)判断函数的单调性并证明你的结论; (2)求函数的最大值和最小值. |
已知函数f(x)=lg(3+x)+lg(3-x). (1)求函数f(x)的定义域; (2)判断函数f(x)的奇偶性. |
已知函数f(x)=,x∈[3,5],则函数f(x)的最小值是______. |
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