已知函数在点处的切线方程为.(1)求、的值;(2)当时,恒成立,求实数的取值范围;(3)证明:当,且时,.
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已知函数在点处的切线方程为.(1)求、的值;(2)当时,恒成立,求实数的取值范围;(3)证明:当,且时,.
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知函数
在点
处的切线方程为
.
(1)求
、
的值;
(2)当
时,
恒成立,求实数
的取值范围;
(3)证明:当
,且
时,
.
答案
(1)
,
;(2)
;(3)详见解析.
解析
试题分析:(1)利用已知条件得到两个条件:一是切线的斜率等于函数
在
处的导数值
,二是切点在切线上也在函数
的图象上,通过切点
在切线上求出
的值,然后再通过
和
的值列有关
、
的二元一次方程组,求出
、
的值;(2)解法1是利用参数分离法将不等式
在区间
上恒成立问题转化为不等式
在区间
上恒成立,并构造函数
,从而转化为
,并利用导数求出函数
的最小值,从而求出
的取值范围;解法2是构造新函数
,将不等式
在区间
上恒成立问题转化为不等式
在区间
上恒成立问题,等价于
利用导数研究函数
的单调性,对
的取值进行分类讨论,通过在不同取值条件下确定函数
的单调性求出
,围绕
列不等式求解,从而求出
的取值范围;(3)在(2)的条件下得到
,在不等式两边为正数的条件下两边取倒数得到
,然后分别令
、
、
、
、
,利用累加法以及同向不等式的相加性来证明问题中涉及的不等式.
试题解析:(1)
,
.
直线
的斜率为
,且过点
,
,即
解得
,
;
(2)解法1:由(1)得
.
当
时,
恒成立,即
,等价于
.
令
,则
.
令
,则
.
当
时,
,函数
在
上单调递增,故
.
从而,当
时,
,即函数
在
上单调递增,
故
.
因此,当
时,
恒成立,则
.
所求
的取值范围是
;
解法2:由(1)得
.
当
时,
恒成立,即
恒成立.
令
,则
.
方程
(*)的判别式
.
(ⅰ)当
,即
时,则
时,
,得
,
故函数
在
上单调递减.
由于
,
则当
时,
,即
,与题设矛盾;
(ⅱ)当
,即
时,则
时,
.
故函数
在
上单调递减,则
,符合题意;
(ⅲ)当
,即
时,方程(*)的两根为
,
,
则
时,
,
时,
.
故函数
在
上单调递增,在
上单调递减,
从而,函数
在
上的最大值为
.
而
,
由(ⅱ)知,当
时,
,
得
,从而
.
故当
时,
,符合题意.
综上所述,
的取值范围是
.
(3)由(2)得,当
时,
,可化为
,
又
,从而,
.
把
、
、
、
、
分别代入上面不等式,并相加得,
.
举一反三
已知函数
,
.
(1)求函数
的最小正周期和值域;
(2)若
,且
,求
的值.
题型:解答题
难度:简单
|
查看答案
在△ABC中,角A,B,C所对的边长分别为
a
,
b
,
c
,且满足
cs
i
n
A=
ac
o
s
C,则
s
i
n
A+
s
i
n
B的最大值是( )
A.1
B.
C.
D.3
题型:单选题
难度:一般
|
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已知函数f(x)=(x+2)ln(x+1)-ax
2
-x(a∈R),g(x)=ln(x+1).
(1)若a=0,F(x)=f(x)-g(x),求函数F(x)的极值点及相应的极值.
(2)若对于任意x
2
>0,存在x
1
满足x
1
<x
2
且g(x
1
)=f(x
2
)成立,求a的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
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函数
f
(
x
)=t
a
n(2
x
-
)的单调递增区间是()
A.[
,
](
k
∈Z)
B.(
,
)(
k
∈Z)
C.[
,
](
k
∈Z)
D.(
,
)(
k
∈Z)
题型:单选题
难度:简单
|
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设命题p:f(x)=
在区间(1,+∞)上是减函数;命题q:x
1
,x
2
是方程x
2
-ax-2=0的两个实根,且不等式m
2
+5m-3≥|x
1
-x
2
|对任意的实数a∈[-1,1]恒成立.若
p∧q为真,试求实数m的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
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