已知函数f(x)=3-2log2x,g(x)=log2x.(1)如果x∈[1,4],求函数h(x)=(f(x)+1)g(x)的值域;(2)求函数M(x)=的最大
题型:解答题难度:简单来源:不详
已知函数f(x)=3-2log2x,g(x)=log2x. (1)如果x∈[1,4],求函数h(x)=(f(x)+1)g(x)的值域; (2)求函数M(x)=的最大值; (3)如果不等式f(x2)f()>kg(x)对x∈[2,4]有解,求实数k的取值范围. |
答案
(1)[0,2].(2)当x=2时,M(x)取到最大值为1. (3)k<-2. |
解析
试题分析:(1)h(x)=(4-2log2x)·log2x=-2(log2x-1)2+2, ∵x∈[1,4],∴log2x∈[0,2], ∴h(x)的值域为[0,2]. (2):f(x)-g(x)=3(1-log2x). 当x>2时,f(x)<g(x);当0<x≤2时,f(x)≥g(x). ∴M(x)== 当0<x≤2时,M(x)最大值为1; 当x>2时,M(x)<1; 综上:当x=2时,M(x)取到最大值为1. (3)由f(x2)f()>kg(x)得 (3-4log2x)(3-log2x)>k·log2x, 令t=log2x,∵x∈[2,4],∴t∈1,2],∴存在t∈[1,2]使(3-4t)(3-t)>kt, 即k<= 4t+-15成立 记h (x) = 4t+-15,则k< h (x)max即可,易得h (x)max=-2 综上:k<-2. 点评:解决的管家式利用对数式的运算,以及函数的性质,均值不等式来求解最值,属于中档题。 |
举一反三
函数的值域是( ) |
在,这三个函数中,当时, 使恒成立的函数的个数是( ) |
函数的值域是( ) |
函数的单调增区间是 . |
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