已知函数f(x)=3-2log2x,g(x)=log2x.(1)如果x∈[1,4],求函数h(x)=(f(x)+1)g(x)的值域;(2)求函数M(x)=的最大

已知函数f(x)=3-2log2x,g(x)=log2x.(1)如果x∈[1,4],求函数h(x)=(f(x)+1)g(x)的值域;(2)求函数M(x)=的最大

题型:解答题难度:简单来源:不详
已知函数f(x)=3-2log2xg(x)=log2x.
(1)如果x∈[1,4],求函数h(x)=(f(x)+1)g(x)的值域;
(2)求函数M(x)=的最大值;
(3)如果不等式f(x2)f()>kg(x)对x∈[2,4]有解,求实数k的取值范围.
答案
(1)[0,2].(2)当x=2时,M(x)取到最大值为1.
(3)k<-2.
解析

试题分析:(1)h(x)=(4-2log2x)·log2x=-2(log2x-1)2+2,
x∈[1,4],∴log2x∈[0,2],
h(x)的值域为[0,2].
(2):f(x)-g(x)=3(1-log2x).
x>2时,f(x)<g(x);当0<x≤2时,f(x)≥g(x).
M(x)=
当0<x≤2时,M(x)最大值为1;
x>2时,M(x)<1;
综上:当x=2时,M(x)取到最大值为1.
(3)由f(x2)f()>kg(x)得
(3-4log2x)(3-log2x)>k·log2x
t=log2x,∵x∈[2,4],∴t∈1,2],∴存在t∈[1,2]使(3-4t)(3-t)>kt,
即k<= 4t+-15成立
h (x) = 4t+-15,则k< h (x)max即可,易得h (x)max=-2
综上:k<-2.
点评:解决的管家式利用对数式的运算,以及函数的性质,均值不等式来求解最值,属于中档题。
举一反三
函数的值域是(  )
A.B.C.D.

题型:单选题难度:简单| 查看答案
,这三个函数中,当时,
使恒成立的函数的个数是(  ) 
A.B.C.D.

题型:单选题难度:简单| 查看答案
,其中,则的取值范围是           
题型:填空题难度:简单| 查看答案
函数的值域是(     )
A.B.C.D.

题型:单选题难度:简单| 查看答案
函数的单调增区间是    
题型:填空题难度:简单| 查看答案
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