已知函数f（x）=|x-1|，g（x）=-x2+6x-5．（1）若g（x）≥f（x），求实数x的取值范围；（2）求g（x）-f（x）的最大值．

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f（x）=|x-1|，g（x）=-x²+6x-5．
（1）若g（x）≥f（x），求实数x的取值范围；
（2）求g（x）-f（x）的最大值．

答案

（1）当x≥1时，f（x）=x-1；
∵g（x）≥f（x），
∴-x²+6x-5≥x-1；
整理，得（x-1）（x-4）≤0，
解得x∈[1，4]；
当x＜1时，f（x）=1-x；
∵g（x）≥f（x），
∴-x²+6x-5≥1-x，
整理，得（x-1）（x-6）≤0，
解得x∈[1，6]，又

x＜1 1≤x≤6

，
∴x∈∅；
综上，x的取值范围是[1，4]．
（2）由（1）知，g（x）-f（x）的最大值在[1，4]上取得，
∴g（x）-f（x）=（-x²+6x+5）-（x-1）=-(x-

5

2

)2+

9

4

≤

9

4

，
∴当x=

5

2

时，g（x）-f（x）取到最大值是

9

4

．