已知函数y=f(x)是R上的偶函数,对于x∈R都有f(x+6)=f(x)+f(3)成立,给出下列命题:①f(3)=0;②f(-3)=0;③直线x=6是函数y=f
题型:填空题难度:一般来源:郑州二模
已知函数y=f(x)是R上的偶函数,对于x∈R都有f(x+6)=f(x)+f(3)成立,给出下列命题: ①f(3)=0; ②f(-3)=0; ③直线x=6是函数y=f(x)的图象的一条对称轴; ④函数y=f(x)在[-9,-6]上为增函数. 其中所有正确命题的序号为______.(把所有正确命题的序号都填上) |
答案
对于①②,由条件:“x∈R都有f(x+6)=f(x)+f(3)成立”,令x=-3, 即有f(3)=f(-3)+f(3),再依据函数y=f(x)是R上的偶函数,有f(-3)=f(3),得f(3)=0; 故①②对; 对于③,∵f(x+6)=f(x)+f(3), 又∵f(-x+6)=f(-x)+f(3),且f(-x)=f(x) ∴f(6+x)=f(6-x);∴直线x=6是函数y=f(x)的图象的一条对称轴,故②对; 对于④,由于f(-3)=f(3)=0,得函数y=f(x)在[-9,-6]上不为增函数;故它是错. 故填①②③. |
举一反三
若对任意的实数m,n,都有f(m)+f(n)=f(m+n),且f(1005)=2,则f(1)+f(3)+f(5)+…+f(2009)=______. |
下列说法中正确的命题代号为 ______. ①f(x)为奇函数,则f(0)=0; ②定义在R上的函数f(x)在区间(-∞,0]上是单调增函数,在区间[0,+∞)上也是单调增函数,则函数f(x)在R上是单调增函数; ③a,b,c都是不等于1的正数且ab≠1,则alogcb=blogca; ④定义在R上的函数f(x)若f(2)≠f(-2),则函数f(x)不是偶函数. |
已知函数f1(x)=,f2(x)=()|x-m|,其中m∈R. (1)若0<m≤2,试判断函数f (x)=f1(x)+f2(x)(x∈[2,+∞))的单调性,并证明你的结论; (2)设函数g(x)=若对任意大于等于2的实数x1,总存在唯一的小于2的实数x2,使得g(x1)=g(x2)成立,试确定实数m的取值范围. |
已知y=f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,x∈[0,1]时,f(x)=. (Ⅰ)求x∈[-1,0)时,y=f(x)解析式,并求y=f(x)在x∈[0,1]上的最大值; (Ⅱ)解不等式f(x)>. |
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