(Ⅰ)f(-1)=-+-+=0 f(2)=×25+×24+×23-×2 =17 (Ⅱ)(1)先用数学归纳法证明:对一切正整数n,f(n)是整数. ①当n=1时,f(1)=1,结论成立. ②假设当n=k(k≥1,k∈N)时,结论成立,即f(k)=k5+k4+k3-k是整数,则当n=k+1时,f(k+1)=(k+1)5+(k+1)4+(k+1)3-(k+1)=++-(k+1) =f(k)+k4+4k3+6k2+4k+1 根据假设f(k)是整数,而k4+4k3+6k2+4k+1显然是整数. ∴f(k+1)是整数,从而当n=k+1时,结论也成立. 由①、②可知对对一切正整数n,f(n)是整数.…(7分) (2)当n=0时,f(0)=0是整数.…(8分) (3)当n为负整数时,令n=-m,则m是正整数,由(1)f(m)是整数, 所以f(n)=f(-m)=(-m)5+(-m)4+(-m)3-(-m)=-m5+m4-m3+m=-f(m)+m4是整数. 综上,对一切整数n,f(n)一定是整数.…(10分) |