已知函数f(x)=ax+1x(a>0)(1)当a=1时,利用函数单调性的定义证明函数f(x)在(0,1]内是单调减函数;(2)当x∈(0,+∞)时f(x)≥1恒
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已知函数f(x)=ax+1x(a>0)(1)当a=1时,利用函数单调性的定义证明函数f(x)在(0,1]内是单调减函数;(2)当x∈(0,+∞)时f(x)≥1恒
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知函数
f(x)=ax+
1
x
(a>0)
(1)当a=1时,利用函数单调性的定义证明函数f(x)在(0,1]内是单调减函数;
(2)当x∈(0,+∞)时f(x)≥1恒成立,求实数a的取值范围.
答案
(1)任意取x
1
,x
2
∈(0,1]且x
1
<x
2
.
f(
x
1
)-f(
x
2
)=(
x
1
+
1
x
1
)-(
x
2
+
1
x
2
)=(
x
1
-
x
2
)(1-
1
x
1
x
2
)=(
x
1
-
x
2
)
x
1
x
2
-1
x
1
x
2
因为x
1
<x
2
,所以x
1
-x
2
<0
0<x
1
x
2
<1,所以x
1
x
2
-1<0
所以f(x
1
)-f(x
2
)>0,
即f(x
1
)>f(x
2
),
所以f(x)在( 0,1]上是单调减函数.
(2)∵x∈(0,+∞),f(x)=
ax+
1
x
=
a
x
2
+1
x
≥1
恒成立,
等价于当x∈(0,+∞)时ax
2
-x+1≥0恒成立即可,
∴a≥
x-1
x
2
在x∈(0,+∞)恒成立 又
1
x
∈(0,+∞),
令g(x)=
x-1
x
2
=-(
1
x
)
2
+
1
x
=-(
1
x
-
1
2
)
2
+
1
4
≤
1
4
∴a≥
1
4
故a的取值范围[
1
4
,+∞).
举一反三
函数
y=lo
g
1
2
(
x
2
+2x-3)
的单调增区间为______.
题型:填空题
难度:一般
|
查看答案
函数
y=
3-sinx
3+sinx
的值域为______.
题型:填空题
难度:一般
|
查看答案
已知函数
f(x)=
lo
g
2
x(x>0)
3
x
(x≤0)
,那么f[f(
1
4
)]的值为( )
A.9
B.
1
9
C.-9
D.-
1
9
题型:单选题
难度:简单
|
查看答案
已知函数f(x)=-x
2
+2x.
(1)证明f(x)在[1,+∞)上是减函数;(2)当x∈[2,5]时,求f(x)的最大值和最小值.
题型:解答题
难度:一般
|
查看答案
设f(x)=
1+
2
x
+
3
x
•a
3
(其中a为实数),如果当x∈(-∞,1)时恒有f(x)>0成立,求实数a的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
查看答案
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