已知函数f(x)=1x+1(1)证明:f(x)在区间(-1,+∞)上单调递减;(2)若f(x)≤a在区间[0,+∞)上恒成立,求a的取值范围.
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已知函数f(x)=1x+1(1)证明:f(x)在区间(-1,+∞)上单调递减;(2)若f(x)≤a在区间[0,+∞)上恒成立,求a的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知函数f(x)=
1
x+1
(1)证明:f(x)在区间(-1,+∞)上单调递减;
(2)若f(x)≤a在区间[0,+∞)上恒成立,求a的取值范围.
答案
(1)证明:设-1<x
1
<x
2
,
则f(x
1
)-f(x
2
)=
1
x
1
+1
-
1
x
2
+1
=
x
2
-
x
1
(
x
1
+1)(
x
2
+1)
.
因为-1<x
1
0,x
2
+1>0,
所以f(x
1
)-f(x
2
)>0,即f(x
1
)>f(x
2
),
所以函数f(x)=
1
x+1
在(-1,+∞)上单调递减.
(2)f(x)≤a在区间[0,+∞)上恒成立,等价于x∈[0,+∞)时f(x)
max
≤a,
由(1)知,f(x)在[0,+∞)上单调递减,所以f(x)
max
=f(0)=1,
所以有a≥1,即a的取值范围为[1,+∞).
举一反三
对于函数f(x),在使f(x)≥M成立的所有常数M中,我们把M的最大值称为f(x)的“下确界“,则函数
f(x)=1-4x+
1
5-4x
,x∈(-∞,
5
4
)
的“下确界“等于______.
题型:填空题
难度:一般
|
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定义在实数集上的函数f(x)满足下列条件:
①f(x)是偶函数;②对任意非负实数x、y,都有f(x+y)=2f(x)f(y);③当x>0时,恒有
f(x)>
1
2
.
(1)求f(0)的值;
(2)证明:f(x)在[0,+∞)上是单调增函数;
(3)若f(3)=2,解关于a的不等式f(a
2
-2a-9)≤8.
题型:解答题
难度:一般
|
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已知f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,若任意的a、b∈[-1,1],且a+b≠0,都有
f(a)+f(b)
a+b
>0
.
(1)判断f(x)在[-1,1]上的单调性,并证明你的结论;
(2)解不等式:f(x+1)<f(
1
x-1
).
题型:解答题
难度:一般
|
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设f(x)是周期为2的奇函数,当0≤x≤1时,f(x)=2x(1-x),则
f(-
5
2
)
=______.
题型:填空题
难度:简单
|
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已知函数
f(x)=
1
2
x
2
-2alnx+(a-2)x
,a∈R.
(Ⅰ)当 a=1 时,求函数 f(x) 的最小值;
(Ⅱ)当 a≤0 时,讨论函数 f(x) 的单调性;
(Ⅲ)是否存在实数a,对任意的 x
1
,x
2
∈(0,+∞),且x
1
≠x
2
,有
f(
x
2
)-f(
x
1
)
x
2
-
x
1
>a
,恒成立,若存在求出a的取值范围,若不存在,说明理由.
题型:解答题
难度:一般
|
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