已知a＞0且a≠1，f(logax)=aa2-1(x-1x)．（1）求f（x）；（2）判断f（x）的奇偶性；（3）判断f（x）的单调性并证明．

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知a＞0且a≠1，f(logax)=

a

a2-1

(x-

1

x

)．
（1）求f（x）；
（2）判断f（x）的奇偶性；
（3）判断f（x）的单调性并证明．

答案

（1）令log_ax=t，则x=a^t，得f（t）=

1

a2-1

(at- 

1

at

)，4分）
所以f（x）=

1

a2-1

（a^x-a^-x）（6分）
（2）因为f（x）定义域为R，
又f（-x）=

1

a2-1

（a^-x-a^x）=-

1

a2-1

（a^x-a^-x）=-f（x），
所以函数f（x）为奇函数（9分）
（3）任取x₁＜x₂
则f（x₂）-f（x₁）=

1

a2-1

（ax2-ax1）（1+a-(x1+x2)）（11分）
∵x₁＜x₂，且a＞0且a≠1，1+a-(x1+x2)＞0
①当a＞1时，a²-1＞0，ax2-ax1＞0，则有f（x₂）-f（x₁）＞0，
②当0＜a＜1时，a²-1＜0．，ax2-ax1＜0，则有f（x₂）-f（x₁）＞0，
所以f（x）为增函数（13分）