解:(1)∵函数y=f(x)=为奇函数, ∴f(﹣x)+f(x)=0 ∴=0 ∴,∴a=﹣ (2)f(x)=, ∵2x﹣1≠0,∴2x≠1,∴x≠0 ∴函数的定义域为(﹣∞,0)∪(0,+∞) (3)f(x)=在(﹣∞,0)和(0,+∞)上为增函数 证明:任取x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2, 则2x1<2x2,2x1﹣1>0,2x2﹣1>0, ∴f(x1)﹣f(x2)=()﹣()=<0, ∴f(x1)<f(x2), ∴f(x)在(0,+∞)上为增函数. 任取x1,x2∈(﹣∞,0)且x1<x2,则﹣x1>﹣x2>0, 因为f(x)在(0,+∞)上为增函数, 所以f(﹣x1)>f(﹣x2), 因为f(x)是奇函数, 所以f(﹣x1)=﹣f(x1),f(﹣x2)=﹣f(x2), ∴﹣f(x1)>﹣f(x2), ∴f(x1)<f(x2), ∴f(x)在(﹣∞,0)上为增函数. |