试题分析:∵函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称,∴f(2-x)=f(x),又y=f(x)为奇函数,∴f(x+2)=f(-x)=-f(x),∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x),即f(x)的周期为4,,又定义在R上的奇函数,故f(0)=0,,∵f(x)=f(0)+ ,∴f(x)= ,∵0<x≤1时,f(x)=log2x≤0,∴f(x)= 在(0,1)内没有一实根,在(-1,0)内有一实数根x1,又函数f(x)的图象关于直线x=1对称,∴f(x)= 在(2,3)有一个实根x2,且x1+x2=2; ∵f(x)的周期为4,当2010<x<2012时,函数的图象与2<x<4的图象一样,∴原方程在区间(2010,2012)内的实根有2个,设为a,b,则 =2011∴a+b=4022,故选B2x与奇函数f(x)的图象关于直线x=1对称,数形结合予以解决,属于中档题. 点评:解决该试题的关键是由奇函数f(x)的图象关于直线x=1对称可得f(x+4)=f(x),再利用f(0)=0,及0<x≤1时,f(x)=log2x,数形结合,可求得方程f(x)= +f(0)= 在区间(2010,20121)内的所有实根之和. |