已知数列{an}满足8an+1=an2+m(n,m∈N*),且a1=1.(1)求证:当m=12时,1≤an<an+1<2;(2)若an<4对任意的n≥1(n∈N
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已知数列{an}满足8an+1=an2+m(n,m∈N*),且a1=1. (1)求证:当m=12时,1≤an<an+1<2; (2)若an<4对任意的n≥1(n∈N)恒成立,求m的最大值. |
答案
证明:(1)①当n=1时,a1=1,又8a2=12+a12,a2=, ∴1=a1<a2<2. ②假设n=k时,1≤ak<ak+1<2成立, 当n=k+1时,有8ak+2=12+ak+12<12+22=16, ∴ak+2<2成立, 由假设ak2<ak+12有8(ak+2-ak+1)=ak+12-ak2>0, ∴ak+2>ak+1≥ak≥1, ∴1≤ak+1<ak+2<2. 故由①,②知,对任意n∈N*都有1≤an<an+1<2成立. (2)由于an+1-an=+(-8an)=(an-4)2+≥,an≥a1+(n-1)=1+(n-1), ①当m>16时,显然不可能使an<4对任意n∈N*成立, ②当m≤16时,an<4对任意n∈N*有可能成立, 当m=16时,a1<4, 假设ak<4,由8ak+1=16+ak2<16+42,ak+1<4. 所以m=16时,对任意n∈N*都有an<4成立, 所以m≤16时,an<4, 故m的最大值是16. |
举一反三
设定义在R上的函数f(x)=a0x4+a1x3+a2x2+a3x+a4,a0,a1,a2,a3,a4∈R,当x=-1时,f(x)取得极大值,且函数y=f(x+1)的图象关于点(-1,0)对称. (Ⅰ)求f(x)的表达式; (Ⅱ)在函数y=f(x)的图象上是否存在两点,使以这两点为切点的切线互相垂直,且切点的横坐标都在[-,]上?如果存在,求出点的坐标;如果不存在,请说明理由; (Ⅲ)设xn=, ym=(m,n∈N*),求证:|f(xn)-f(ym)|<. |
已知定义在正实数集上的连续函数f(x)=,则实数a的值为 ______. |
已知函数f(x)=在点x=0处连续,则a=______. |
在直角坐标系内,函数y=|x|的图象( )A.关于坐标轴、原点都不对称 | B.关于原点对称 | C.关于x轴对称 | D.关于y轴对称 |
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已知函数f(x)=x3-9x2cosα+48xcosβ+18sin2α,g(x)=f"(x),且对任意的实数t均有g(1+cost)≥0,g(3+sint)≤0. (I)求函数f(x)的解析式; (II)若对任意的m∈[-26,6],恒有f(x)≥x2-mx-11,求x的取值范围. |
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