已知集合MD是满足下列性质的函数f（x）的全体：存在非零常数k，使得对定义域D内的任意两个不同的实数x1，x2，均有|f（x1）-f（x2）|≤k|x1-x2|

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知集合M_D是满足下列性质的函数f（x）的全体：存在非零常数k，使得对定义域D内的任意两个不同的实数x₁，x₂，均有|f（x₁）-f（x₂）|≤k|x₁-x₂|成立．
（Ⅰ） 当D=R时，f（x）=x是否属于M_D？说明理由；
（Ⅱ） 当D=[0，+∞）时，函数f(x)=

x+1

属于M_D，求k的取值范围；
（Ⅲ） 现有函数f（x）=sinx，是否存在函数g（x）=kx+b（k≠0），使得下列条件同时成立：
①函数g（x）∈M_D；
②方程g（x）=0的根t也是方程f（x）=0的根，且g（f（t））=f（g（t））；
③方程f（g（x））=g（f（x））在区间[0，2π）上有且仅有一解．若存在，求出满足条件的k和b；若不存在，说明理由．

答案

（Ⅰ）属于M_D．
事实上，对任意x₁，x₂∈R，|f（x₁）-f（x₂）|=|x₁-x₂|≤2|x₁-x₂|，
故可取常数k=2满足题意，因此f（x）∈M_D．
（Ⅱ）∵f(x)=

x+1

在[0，+∞）为增函数
∴对任意x₁，x₂∈[0，+∞）有|

f(x1)-f(x2)

x1-x2

|=|

x1+1 - x2+1

(x1+1)-(x2+1)

|=

1

x1+1 + x2+1

＜

1

2

（当x₁=0，x₂→0时取到），所以k≥

1

2

，此即为所求．
（Ⅲ）存在．
事实上，由（Ⅰ）可知，g（x）=kx+b（k≠0）属于M_D．
∵t是g（x）=0的根∴g(t)=0⇒t=-

b

k

，
又f（g（t））=g（f（t）），∴f（0）=g（0），∴b=0，∴g（x）=kx
若k符合题意，则-k也符合题意，故以下仅考虑k＞0的情形．
设h（x）=f（g（x））-g（f（x））=sinkx-ksinx，
①若k≥1，则
由h(

π

k

)=sinπ-ksin

π

k

＜0，
且h(

3π

2

)=sin

3kπ

2

-ksin

3π

2

=sin

3kπ

2

+k≥0，
所以，在[

π

k

，

3π

2

]中另有一根，矛盾．
②若

1

2

＜k＜1，
则h(

π

k

)=sinπ-ksin

π

k

≥0，h[2π]=sin2kπ-ksin2π＜0，
所以在[

π

k

，2π]中另有一根，矛盾．∴0＜k≤

1

2

．
以下证明，对任意k∈(0，

1

2

]，g(x)=kx符合题意．
（ⅰ）当x∈(0，

π

2

]时，由y=sinx图象在连接两点（0，0），（x，sinx）的线段的上方知sinkx＞ksinx
∴h（x）＞0．
（ⅱ）当x∈(

π

2

，

π

2k

]时，sinkx＞sin

kπ

2

≥ksin

π

2

≥ksinx∴h(x)＞0．
（ⅲ）当x∈(

π

2k

，2π)时，sinkx＞0，sinx＜0，∴h（x）＞0．
从而h（x）=0有且仅有一个解x=0，∴g（x）=kx在k∈(0，

1

2

]满足题意．
综上所述：k∈[-

1

2

，0)∪(0，

1

2

]，b=0为所求．