(1)求导数可得f′(x)=x2+2bx+c ∵f′(2-x)=f′(x),∴f′(x)关于x=1对称,∴b=-1 与x轴交点处的切线为y=4x-12,设交点为(a,0),则f(a)=0,f′(a)=4 ∴在(a,0)处的切线为:y=4(x-a)+0=4x-4a=4x-12,∴4a=12,∴a=3 由f"(3)=9-6+c=3+c=4得:c=1 由f(3)=×27-32+3+d=0得:d=-3 所以有:f(x)=x3-x2+x-3 (2)g(x)=x=x|x-1| 当x≥1时,g(x)=x(x-1)=x2-x=(x-)2-,函数为增函数 x<1时,g(x)=-x2+x=-(x-)2+,最大为g()= 比较g(m)=m(m-1)与得:m≥时,m(m-1)≥ 因此,0<m≤时,g(x)的最大值为m-m2;<m≤时,g(x)的最大值为; m>时,g(x)最大值为m2-m (3)h(x)=lnf′(x)=ln(x-1)2, 当x∈[0,1]时,h(x)=2ln(1-x) 此时不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立 则有2ln(t-x)<2ln(-2x-1) ∴0<t-x<-2x-1, 可得t>x且t<-x-1, 又由x∈[0,1], 则有-1<t<0 |