已知函数f (x)为R上的奇函数,且在(0,+∞)上为增函数,(1)求证:函数f (x)在(-∞,0)上也是增函数;(2)如果f (12)=1,解不等式-1<f
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已知函数f (x)为R上的奇函数,且在(0,+∞)上为增函数,(1)求证:函数f (x)在(-∞,0)上也是增函数;(2)如果f (12)=1,解不等式-1<f
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知函数f (x)为R上的奇函数,且在(0,+∞)上为增函数,
(1)求证:函数f (x)在(-∞,0)上也是增函数;
(2)如果f (
1
2
)=1,解不等式-1<f (2x+1)≤0.
答案
(1)令x
1
<x
2
<0,则-x
1
>-x
2
>0,
∵函数f(x)在(0,+∞)上为增函数∴f(-x
1
)>f(-x
2
)
又∵函数f(x)为奇函数
∴-f(x
1
)>-f(x
2
)
∴f(x
1
)<f(x
2
)
∴f(x)在(-∞,0)上为增函数
(2)∵f(-0)=f(0)∴f(0)=0
∵
f(-
1
2
)
=-f(
1
2
)=-1∴f(-
1
2
)<f(2x+1)≤f(0)
又f(x)在R上单调递增∴
-
3
4
<x≤ -
1
2
∴不等式-1<f (2x+1)≤0的解集为:{x|
-
3
4
<x≤-
1
2
}.
举一反三
已知函数f(x)=|x+1|+|x+2|+…+|x+2011|+|x-1|+|x-2|+…+|x-2011|(x∈R),且f(a
2
-3a+2)=f(a-1),则满足条件的所有整数a的和是______.
题型:填空题
难度:一般
|
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(Ⅰ)判断函数f(x)的奇偶性,并说明理由;
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题型:解答题
难度:一般
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x
,若不等式af(x)+g(2x)≥0对x∈(0,1]恒成立,则实数a的取值范围是______.
题型:填空题
难度:一般
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B.f(0)<f(-6.5)<f(-1)
C.f(-1)<f(-6.5)<f(0)
D.f(-1)<f(0)<f(-6.5)
题型:单选题
难度:一般
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若f(x)=ax
2
+x+c在[a,b]上是奇函数,则a+b+c=______.
题型:填空题
难度:一般
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