已知f(x)=ax-lnx,x∈(0,e],其中e是自然常数,a∈R.(1)当a=1时,求f(x)的单调区间和极值;(2)若f(x)≥3恒成立,求a的取值范围.

已知f(x)=ax-lnx,x∈(0,e],其中e是自然常数,a∈R.(1)当a=1时,求f(x)的单调区间和极值;(2)若f(x)≥3恒成立,求a的取值范围.

题型:解答题难度:一般来源:宁波模拟
已知f(x)=ax-lnx,x∈(0,e],其中e是自然常数,a∈R.
(1)当a=1时,求f(x)的单调区间和极值;
(2)若f(x)≥3恒成立,求a的取值范围.
答案
(1)当a=1时,f(x)=x-lnx,f′(x)=1-
1
x
=
x-1
x

当0<x<1时,f′(x)<0,此时f(x)单调递减;
当1<x<e时,f′(x)>0,此时f(x)为单调递增.
∴当x=1时f(x)取得极小值,f(x)的极小值为f(1)=1,f(x)无极大值;
(2)∵f(x)=ax-lnx,x∈(0,e],
∴ax-lnx≥3在x∈(0,e]上恒成立,即a≥
3
x
+
lnx
x
在x∈(0,e]上恒成立,
g(x)=
3
x
+
lnx
x
,x∈(0,e],
g(x)=-
3
x2
+
1-lnx
x2
=-
2+lnx
x2

令g′(x)=0,则x=
1
e2

0<x<
1
e2
时,f′(x)>0,此时f(x)单调递增,
1
e2
<x<e
时,f′(x)<0,此时f(x)单调递减,
g(x)max=g(
1
e2
)=3e2-2e2=e2

∴a≥e2,即a的取值范围为a≥e2
举一反三
已知


m
=(asinx,cosx),


n
=(sinx,bsinx)
,其中a,b,x∈R.若f(x)=


m


n
满足f(
π
6
)=2
,且f(x)的导函数f"(x)的图象关于直线x=
π
12
对称.
(Ⅰ)求a,b的值;
(Ⅱ)若关于x的方程f(x)+log2k=0在区间[0,
π
2
]
上总有实数解,求实数k的取值范围.
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定义在R上的函数f(x)是奇函数,则f(0)的值为______.
题型:填空题难度:简单| 查看答案
已知函数f(x)=x3-ax3+bx+c(a,b,c∈R),若函数f(x)在x=-1和x=3时取得极值
(1)求a,b
(2)当x∈[-2,6]时,f(x)<2|c|恒成立,求c的取值范围.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)=ax3+bsinx+1且f(1)=5,则f(-1)=______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)是定义在R上的单调函数满足f(-3)=2,,且对任意的实数a∈R有f(-a)+f(a)=0恒成立.
(Ⅰ)试判断f(x)在R上的单调性,并说明理由;
(Ⅱ)解关于x的不等式f(
题型:解答题难度:一般| 查看答案
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