已知y=f(x)是定义在R上的偶函数,当x≥0时,f(x)=x2-2x.(1)求f(x)的解析式;(2)作出函数f(x)的图象,并指出其单调区间.(不需要严格证
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知y=f(x)是定义在R上的偶函数,当x≥0时,f(x)=x2-2x. (1)求f(x)的解析式; (2)作出函数f(x)的图象,并指出其单调区间.(不需要严格证明) |
答案
(1)∵y=f(x)是定义在R上的偶函数,当x≥0时,f(x)=x2-2x, 当x<0时,-x>0, f(-x)=(-x)2-2(-x)=x2+2x, ∴f(x)=f(-x)=x2+2x, ∴f(x)=. (2)∵f(x)=, ∴当x≥0时,y=x2-2x,抛物线开口向上,对称轴方程为x=1,顶点坐标(1,-1), 当y=0时,x1=0,x2=2;当x=0时,y=0. 当x<0时,y=x2+2x,抛物线开口向上,对称轴方程为x=-1,顶点坐标(-1,-1), 当y=0时,x=-2. 由此能作出函数f(x)的图象如下:
结合图象,知f(x)的增区间是(-1,0),(1,+∞);减区间是(-∞,-1),(0,1). |
举一反三
函数y=f(x)(x∈[-2,2])的图象如图所示,则f(x)+f(-x)=______. |
函数f(x)是定义域为R的奇函数,当x>0时,f(x)=-x2+1,则当x<0时,f(x)的表达式为______. |
定义在R上的奇函数f(x)有最小正周期为2,且x∈(0,1)时,f(x)=. (1)求f(x)在[-1,1]上的解析式; (2)判断f(x)在(0,1)上的单调性; (3)当λ为何值时,方程f(x)=λ在x∈[-1,1]上有实数解. |
对一切实数x,不等式x2+a|x|+1≥0恒成立,则实数a的取值范围是( )A.(-∞,-2) | B.[-2,+∞) | C.[-2,2] | D.[0,+∞) |
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