已知a,b,c,d是不全为零的实数,函数f(x)=bx2+cx+d,g(x)=ax3+bx2+cx+d。方程f(x)=0有实数根,且f(x)=0的实数根都是g(
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已知a,b,c,d是不全为零的实数,函数f(x)=bx2+cx+d,g(x)=ax3+bx2+cx+d。方程f(x)=0有实数根,且f(x)=0的实数根都是g(
题型:解答题
难度:困难
来源:江苏高考真题
已知a,b,c,d是不全为零的实数,函数f(x)=bx
2
+cx+d,g(x)=ax
3
+bx
2
+cx+d。方程f(x)=0有实数根,且f(x)=0的实数根都是g(f(x))=0的根;反之,g(f(x))=0的实数根都是f(x)=0的根。
(1)求d的值;
(2)若a=0,求c的取值范围;
(3)若a=1,f(1)=0,求c的取值范围。
答案
解:(1)设
是
的根,那么
,
则
是
的根,
则
即
,
所以
。
(2)因为
所以
则
=0的根也是
的根
(a)若
,则
此时
的根为0,而
的根也是0,
所以
;
(b)若
,则
时,
的根为0,而
的根也是0,
当
时,
的根为0和
,
而
的根不可能为0和
,
所以
必无实数根,
所以
所以
,
从而
所以当
时,
;
当
时,
。
(3)
,所以
即
的根为0和1,
所以
=0必无实数根,
(a)当
时,
即函数
在
,
恒成立
又
所以
即
所以
;
(b)当
时,
即函数
在
,
恒成立
又
所以
,
,而
所以
所以c不可能小于0。
(c)
则
这时
的根为一切实数,而
,
所以
符合要求。
所以
。
举一反三
如果函数f(x)=a
x
(a
x
-3a
2
-1)(a>0且a≠1)在区间[0,+∞)上是增函数,那么实数a的取值范围是
[ ]
A.
B.
C.
D.
题型:单选题
难度:一般
|
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函数f(x)=cos
2
x-2cos
2
的一个单调增区间是
[ ]
A.
B.
C.
D.
题型:单选题
难度:一般
|
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已知函数f(x)=kx
3
-3x
2
+1(k≥0)。
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)若函数f(x)的极小值大于0,求k的取值范围。
题型:解答题
难度:困难
|
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已知函数f(x)=x
3
+3ax-1,g(x)=f′(x)-ax-5,其中f′(x)是的f(x)的导函数,
(Ⅰ)对满足-1≤a≤1的一切a的值,都有g(x)<0,求实数x的取值范围;
(Ⅱ)设a=-m
2
,当实数m在什么范围内变化时,函数y=f(x)的图像与直线y=3只有一个公共点。
题型:解答题
难度:困难
|
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(Ⅰ)设f(x)是定义在实数集R上的函数,满足f(0)=1,且对任意实数a,b,有f(a-b)=f(a)-b(2a-b+1),求f(x);
(Ⅱ)函数f(x)(x∈(-1,1))满足2f(x)-f(-x)=lg(x+1),求f(x)。
题型:解答题
难度:一般
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