已知函数f(x)=13ax3+12bx2+cx.(a≠0)(1)若函数f(x)有三个零点x1,x2,x3,且x1+x2+x3=92,x1x3=-12,求函数 y

已知函数f(x)=13ax3+12bx2+cx.(a≠0)(1)若函数f(x)有三个零点x1,x2,x3,且x1+x2+x3=92,x1x3=-12,求函数 y

题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数f(x)=
1
3
ax3+
1
2
bx2+cx
.(a≠0)
(1)若函数f(x)有三个零点x1,x2,x3,且x1+x2+x3=
9
2
,x1x3=-12,求函数 y=f(x)的单调区间;
(2)若f′(1)=-
1
2
a
,3a>2c>2b,试问:导函数f′(x)在区间(0,2)内是否有零点,并说明理由.
(3)在(Ⅱ)的条件下,若导函数f′(x)的两个零点之间的距离不小于


3
,求
b
a
的取值范围.
答案
解(1)因为f(x)=x(
1
3
ax2+
1
2
bx+c)
,又x1+x2+x3=
9
2
,x1x3=-12,
所以x2=0,x1+x3=
9
2
x1x3=-12

因为x1,x3是方程
1
3
ax2+
1
2
bx+c=0
的两根,
所以-
3b
2a
=
9
2
3c
a
=-12
,即b=-3a,c=-4a,
从而:f(x)=
1
3
ax3-
3
2
ax2-4ax

所以f′(x)=ax2-3ax-4a=a(x-4)(x+1).
令  f′(x)=0解得:x=-1,x=4,
当a>0时,y=f(x)的单调递减区间是(-1,4),单调递增区间是(-∞,-1),(4,+∞).
当a<0时,y=f(x)的单调递增区间是(-1,4),单调递减区间是(-∞,-1),(4,+∞).
(2)因为f"(x)=ax2+bx+c,f′(1)=-
1
2
a

所以a+b+c=-
1
2
a
,即3a+2b+2c=0.
因为3a>2c>2b,所以3a>0,2b<0,即a>0,b<0.
于是f′(1)=-
a
2
<0
,f"(0)=c,f"(2)=4a+2b+c=4a-(3a+2c)+c=a-c.
①当c>0时,因为f′(0)=c>0,f′(1)=-
a
2
<0

则f"(x)在区间(0,1)内至少有一个零点.
②当c≤0时,因为f′(1)=-
a
2
<0,f′(2)=a-c>0

则f"(x)在区间(1,2)内至少有一零点.
故导函数f"(x)在区间(0,2)内至少有一个零点.
(3)设m,n是导函数f"(x)=ax2+bx+c的两个零点,则m+n=-
b
a
mn=
c
a
=-
3
2
-
b
a

所以|m-n|=


(m+n)2-4mn
=


(-
b
a
)
2
-4(-
3
2
-
b
a
)
=


(
b
a
+2)
2
+2

由已知,


(
b
a
+2)
2
+2


3
,则(
b
a
+2)2+2≥3
,即(
b
a
+2)2≥1

所以
b
a
+2≥1或
b
a
+2≤-1
,即
b
a
≥-1
b
a
≤-3

又2c=-3a-2b,3a>2c>2b,所以3a>-3a-2b>2b,即-3a<b<-
3
4
a

因为a>0,所以-3<
b
a
<-
3
4

综上所述,
b
a
的取值范围是[-1,-
3
4
)
举一反三
已知符号函数sgn(x)=





1,x>0
0,x=0
-1,x<0
,则函数f(x)=sgn(lnx)-lnx的零点个数为(  )
A.1B.2C.3D.4
题型:单选题难度:简单| 查看答案
设函数f(x)=-x3-2mx2-m2x+1-m(其中m>-2)的图象在x=2处的切线与直线x-5y-12=0垂直.
(Ⅰ)求函数f(x)的极值与零点;
(Ⅱ)设g(x)=
1-x
kx
+lnx,若对任意x1∈[0,1],存在x2∈(0,1],使f(x1)>g(x2)成立,求实数k的取值范围.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)=x2-(a+2)x+alnx,其中常数a>0.
(1)当a>2时,求函数f(x)的单调递增区间;
(2)当a=4时,若函数y=f(x)-m有三个不同的零点,求m的取值范围;
(3)设定义在D上的函数y=h(x)在点p(x0,h(x0))处的切线方程为l:y=g(x),当x≠x0时,若
h(x)-g(x)
x-x0
>0
在D内恒成立,则称P为函数y=h(x)的“类对称点”,请你探究当a=4时,函数y=f(x)是否存在“类对称点”,若存在,请最少求出一个“类对称点”的横坐标;若不存在,说明理由.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)=x2+ax+1,若∃θ∈(
π
4
π
2
),f(sinθ)=f(cosθ)
,则实数a的取值范围为______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
已知f(x)=mx(x-2m)(x+m+3),g(x)=2x-2,若∀x∈R,f(x)<0或g(x)<0,则m的取值范围是______.
题型:填空题难度:简单| 查看答案
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