已知向量m=(sinx,-1),向量n=(3cosx,12),函数f(x)=(m+n)•m.(Ⅰ)求f(x)的最小正周期T;(Ⅱ)若方程f(x)-t=0在x∈[
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已知向量m=(sinx,-1),向量n=(3cosx,12),函数f(x)=(m+n)•m.(Ⅰ)求f(x)的最小正周期T;(Ⅱ)若方程f(x)-t=0在x∈[
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知向量
m
=(sinx,-1)
,向量
n
=(
3
cosx,
1
2
)
,函数
f(x)=(
m
+
n
)
•
m
.
(Ⅰ)求f(x)的最小正周期T;
(Ⅱ)若方程f(x)-t=0在
x∈[
π
4
,
π
2
]
上有解,求实数t的取值范围.
答案
(I)∵
m
=(sinx,-1)
,
n
=(
3
cosx,
1
2
)
,
∴
m
+
n
=(sinx+
3
cosx,-
1
2
),可得
f(x)=(
m
+
n
)
•
m
=sinx(sinx+
3
cosx)+
1
2
=sin
2
x+
3
sinxcosx+
1
2
∵sin
2
x=
1
2
(1-cos2x),sinxcosx=
1
2
sin2x
∴f(x)=
1
2
(1-cos2x)+
3
2
sin2x+
1
2
=sin(2x-
π
6
)+1
因此,f(x)的最小正周期T=
2π
2
=π;
(II)∵
x∈[
π
4
,
π
2
]
,可得2x-
π
6
∈[
π
3
,
5π
6
]
∴sin(2x-
π
6
)∈[
1
2
,1],得f(x)=sin(2x-
π
6
)+1的值域为[
3
2
,2]
∵方程f(x)-t=0在
x∈[
π
4
,
π
2
]
上有解,
∴f(x)=t在
x∈[
π
4
,
π
2
]
上有解,可得实数t的取值范围为[
3
2
,2].
举一反三
设二次函数f(x)=ax
2
+bx+c,函数F(x)=f(x)-x的两个零点为m,n(m<n).
(1)若m=-1,n=2,求不等式F(x)>0的解集;
(2)若a>0且
0<x<m<n<
1
a
,比较f(x)与m的大小.
题型:解答题
难度:一般
|
查看答案
已知函数
f(x)=
x
3
-3
x
2
+1,g(x)=
(x-
1
2
)
2
+1(x>0)
-(x+3
)
2
+1(x≤0)
,则方程g[f(x)]-a=0(a为正实数)的实数根最多有( )个.
A.6个
B.4个
C.7个
D.8个
题型:单选题
难度:简单
|
查看答案
(理) 已知函数f(x)=x-ln(x+a)在x=1处取得极值.
(1)求实数a的值;
(2)若关于x的方程f(x)+2x=x
2
+b在
[
1
2
,2]
上恰有两个不相等的实数根,求实数b的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
查看答案
已知x=1是函数
f(x)=
1
2
x
2
-6x+mlnx
的一个极值点.
(Ⅰ)求m;
(Ⅱ)若直线y=n与函数y=f(x)的图象有3个交点,求n的取值范围;
(Ⅲ)设g(x)=(-5-a)lnx+
1
2
x
2
+(6-b)x+2(a>0),G(x)=f(x)+g(x),若G(x)=0有两个不同零点x
1
,x
2
,且
x
0
=
x
1
+
x
2
2
,试探究G′(x
0
)值的符号.
题型:解答题
难度:一般
|
查看答案
已知f(x)=e
x
-ax(e=2.718…)
(I)讨论函数f(x)的单调区间;
(II)若函数f(x)在区间(0,2)上有两个零点,求a的取值范围;
(Ⅲ) A(x
l
,y
l
),B(x
2
,y
2
)是f(x)的图象上任意两点,且x
1
<x
2
,若总存在x
o
∈R,使得f′
(
x
o
)=
y
1
-
y
2
x
1
-
x
2
,求证:x
o
>x
l
.
题型:解答题
难度:一般
|
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