试题分析:解:(1) 1分 则 2分 (i)若,则当时,;当时, 所以 为的增区间,为的减区间. 3分 极大值为 所以只有一个零点. (ii)若,则当时,;当时, 所以 为的减区间,为的增区间. 极小值为 4分 所以只有一个零点. 综上所述, 当时,为的减区间,为的增区间,有且只有一个零点; 当时,为的增区间,为的减区间,有且只有一个零点. 5分 (2) 6分 由在其定义域内单调递增,可知,恒成立. 则 恒成立. 7分 (法一)由二次函数的图象(开口向上,过定点)可得或 8分 则 或 则 或 得 . 可以验证 当时在其定义域内单调递增 故 . 9分 (法二)分离变量 因 (当且仅当,即时取到等号) 8分 所以 , 则. 可以验证 当时在其定义域内单调递增 故 9分 (3)由(2)可知 当时,在内单调递增, 而 所以当时, 即 10分 令 , 则 11分 则 所以 ,, , ,, 以上个式子累加可得
12分 则 则 13分 则 故 (). 14分 点评:主要是考查了导数在研究函数单调性以及函数与不等式中的运用,属于中档题。 |