(本小题满分13分)定义F(x,y)=(1+x)y,其中x,y∈(0,+∞).(1)令函数f(x)=F(1,log2(x3+ax2+bx+1)),其图象为曲线C
题型:解答题难度:一般来源:不详
(本小题满分13分) 定义F(x,y)=(1+x)y,其中x,y∈(0,+∞). (1)令函数f(x)=F(1,log2(x3+ax2+bx+1)),其图象为曲线C,若存在实数b使得曲线C在x0(-4<x0<-1)处有斜率为-8的切线,求实数a的取值范围; (2)令函数g(x)=F(1,log2[(lnx-1)ex+x]),是否存在实数x0∈[1,e],使曲线y=g(x)在点x=x0处的切线与y轴垂直?若存在,求出x0的值;若不存在,请说明理由. (3)当x,y∈N,且x<y时,求证:F(x,y)>F(y,x). |
答案
(1)a<10. (2)略 (3)略 |
解析
解:(1)f(x)=F(1,log2(x3+ax2+bx+1))=x3+ax2+bx+1,设曲线C在x0(-4<x0<-1)处有斜率为-8的切线, 又由题设知log2(x3+ax2+bx+1)>0,f′(x)=3x2+2ax+b, 3x20+2ax0+b="-8 " ① ∴存在实数b使得 -4<x0<-1 ② 有解,(3分) x30+ax20+bx0>0 ③ 由①得b=-8-3x-2ax0,代入③得-2x-ax0-8<0, ∴由 2x20+ax0+8>0 有解, -4< x0<-1 得2×(-4)2+a×(-4)+8>0或2×(-1)2+a×(-1)+8>0, ∴a<10或a<10,∴a<10.(5分) (2)∵g(x)=(lnx-1)ex+x, ∴g′(x)=(lnx-1)′ex+(lnx-1)(ex)′+1=+(lnx-1)ex+1=(+lnx-1)ex+1.(6分) 设h(x)=+lnx-1.则h′(x)=-+=, 当x∈[1,e]时,h′(x)≥0. h(x)为增函数,因此h(x)在区间[1,e]上的最小值为ln1=0,即+lnx-1≥0. 当x0∈[1,e]时,ex0>0,+lnx0-1≥0, ∴g′(x0)=(+lnx0-1)ex0+1≥1>0.(8分) 曲线y=g(x)在点x=x0处的切线与y轴垂直等价于方程g′(x0)=0有实数解. 而g′(x0)>0,即方程g′(x0)=0无实数解. 故不存在实数x0∈[1,e],使曲线y=g(x)在点x=x0处的切线与y轴垂直.(9分) |
举一反三
三个数大小的顺序是 ( ) |
函数的定义域为( ) |
已知函数的图像关于点对称, 则_________________. |
最新试题
热门考点