试题分析:(1)是等差数列,和可以用裂项相消法求出,等式就变为关于的恒等式,利用恒等式的知识可求出;(2)等式对任意()恒成立,等式左边是一个和式,相当于一个新数列的前项和,处理方法是把式子中的用代换后,两式相减,本题中得到,这个式子可整理为,这是关于的恒等式,因此 ,即, 这就说明为等差数列,得证,解题时还要注意对的初始值是否成立;(3)已知条件为等差数列中,要求的最大值,为了能对数列进行处理,我们利用三角换元法,对已知条件变换,设设,(),这样数列的公差就可求出,从而也就能求出前项和,,再利用三角函数的最大值为,就能求出的最大值. 试题解析:(1)设的公差为,则原等式可化为 ,所以, 即对于恒成立,所以. 4分 (2)当时,假设为的必要条件,即“若①对于任意的()恒成立,则为等差数列”, 当时,显然成立, 6分 当时,②,由①-②得:, 即③, 当时,,即成等差数列, 当时,④,由③④得,所以为等差数列,即是的必要条件. 10分 (3)由,可设,所以. 设数列的公差为,则,所以, 所以, , 所以的最大值为. 16分的最大值问题. |