证明以下命题:(1)对任一正整数,都存在正整数,使得成等差数列;(2)存在无穷多个互不相似的三角形,其边长为正整数且成等差数列.
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证明以下命题:(1)对任一正整数,都存在正整数,使得成等差数列;(2)存在无穷多个互不相似的三角形,其边长为正整数且成等差数列.
题型:不详
难度:
来源:
证明以下命题:
(1)对任一正整数
,都存在正整数
,使得
成等差数列;
(2)存在无穷多个互不相似的三角形
,其边长
为正整数且
成等差数列.
答案
存在无穷多个互不相似的三角形
,其边长
为正整数且
成等差数列
解析
证明:(1)易知
成等差数列,故
也成等差数列,
所以对任一正整数
,都存在正整数
,使得
成等差数列.
(2)若
成等差数列,则有
,
即
…… ①
选取关于
的一个多项式,例如
,使得它可按两种方式分解因式,由于
因此令
,可得
…… ②
易验证
满足①,因此
成等差数列,
当
时,有
且
因此
为边可以构成三角形.
其次,任取正整数
,假若三角形
与
相似,则有:
,据比例性质有:
所以
,由此可得
,与假设
矛盾,
即任两个三角形
与
互不相似,
所以存在无穷多个互不相似的三角形
,其边长
为正整数且
成等差数列.
举一反三
给出下面的数表序列:
其中表n(n="1,2,3"
)有n行,第1行的n个数是1,3,5,
2n-1,从第2行起,每行中的每个数都等于它肩上的两数之和。
(I)写出表4,验证表4各行中数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列,并将结论推广到表n(n≥3)(不要求证明);
(II)每个数列中最后一行都只有一个数,它们构成数列1,4,12
,记此数列为
求和:
题型:不详
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在数列
中,
=1,
,其中实数
。
(I) 求
的通项公式;
(II) 若对一切
有
,求c的取值范围。
题型:不详
难度:
|
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在数列
中,
,且对任意
.
,
,
成等差数列,其公差为
。
(Ⅰ)若
=
,证明
,
,
成等比数列(
)
(Ⅱ)若对任意
,
,
,
成等比数列,其公比为
。
题型:不详
难度:
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在等差数列
中,
,则
的值为
A.5
B.6
C.8
D.10
题型:不详
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|
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已知
是首项为19,公差为-2的等差数列,
为
的前
项和.
(Ⅰ)求通项
及
;
(Ⅱ)设
是首项为1,公比为3的等比数列,求数列
的通项公式及其前
项和
.
题型:不详
难度:
|
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