已知数列{an}的首项a1=2，an+1=2an+2n+1，（n∈N*，n≥1）（Ⅰ）证明：数列{an2n}为等差数列；（Ⅱ）设数列{an}的前n项和为Sn，求

题型：不详难度：来源：

已知数列{a_n}的首项a₁=2，a_n+1=2a_n+2ⁿ⁺¹，（n∈N^*，n≥1）
（Ⅰ）证明：数列{

an

2n

}为等差数列；
（Ⅱ）设数列{a_n}的前n项和为S_n，求S_n．

答案

（Ⅰ）∵

an+1

2n+1

-

an

2n

=

an+1-2an

2n+1

=

2n+1

2n+1

=1(n≥1)
∴数列{

an

2n

}为等差数列
（Ⅱ）∵

a1

2

=1，∴

an

2n

=1+(n-1)=n，∴a_n=n•2ⁿ
所以s_n=2+2×2²+3×2³+…+n2^n…①，
两边都乘以2得：2s_n=2²+2×2³+3×2⁴+…+（n-1）2ⁿ+n2^n+1…②
①-②得：-s_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n2ⁿ⁺¹=

2(1-2n)

1-2

-n2ⁿ⁺¹，
解得S_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．