(Ⅰ)解:因为,所以,. 因为,所以,. 因为,所以,. 所以. …………………………………… 2分 由此猜想,当时,,则,.… 3分 下面用数学归纳法证明: ①当时,已证成立. ②假设当(,且)猜想成立, 即,,. 当时,由,得,则,. 综上所述,猜想成立. 所以. 故. ……………………………………………… 6分 (Ⅱ)解:当时,假设,根据已知条件则有, 与矛盾,因此不成立, …………… 7分 所以有,从而有,所以. 当时,,, 所以; …………………… 8分 当时,总有成立. 又, 所以数列()是首项为,公比为的等比数列, ,, 又因为,所以. …………………………… 10分 (Ⅲ)证明:由题意得 . 因为,所以. 所以数列是单调递增数列. …………………………………… 11分 因此要证,只须证. 由,则<,即.…… 12分 因此 . 所以. 故当,恒有. …………………………………………………14分 |