(Ⅰ)解:因为 ,所以 , . 因为 ,所以 , . 因为 ,所以 , . 所以 . …………………………………… 2分 由此猜想,当 时, ,则 , .… 3分 下面用数学归纳法证明: ①当 时,已证成立. ②假设当 ( ,且 )猜想成立, 即 , , . 当 时,由 , 得 ,则 , . 综上所述,猜想成立. 所以 . 故 . ……………………………………………… 6分 (Ⅱ)解:当 时,假设 ,根据已知条件则有 , 与 矛盾,因此 不成立, …………… 7分 所以有 ,从而有 ,所以 . 当 时, , , 所以 ; …………………… 8分 当 时,总有 成立. 又 , 所以数列 ( )是首项为 ,公比为 的等比数列, , , 又因为 ,所以 . …………………………… 10分 (Ⅲ)证明:由题意得![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191015/20191015050302-36056.png)
. 因为 ,所以 . 所以数列 是单调递增数列. …………………………………… 11分 因此要证 ,只须证 . 由 ,则 < ,即 .…… 12分 因此![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191015/20191015050315-66057.png)
. 所以 . 故当 ,恒有 . …………………………………………………14分 |