已知数列{an},an≥0,a1=0,an+12+an+1-1=an2(n∈N•).记Sn=a1+a2+…+an.Tn=11+a1+1(1+a1)(1+a2)+
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已知数列{an},an≥0,a1=0,an+12+an+1-1=an2(n∈N•).记Sn=a1+a2+…+an.Tn=++…+. 求证:当n∈N•时, (Ⅰ)an<an+1; (Ⅱ)Sn>n-2. |
答案
(Ⅰ)证明:用数学归纳法证明. ①当n=1时,因为a2是方程x2+x-1=0的正根,所以a1<a2. ②假设当n=k(k∈N*)时,ak<ak+1, 因为ak+12-ak2=(ak+22+ak+2-1)-(ak+12+ak+1-1)=(ak+2-ak+1)(ak+2+ak+1+1), 所以ak+1<ak+2. 即当n=k+1时,an<an+1也成立. 根据①和②,可知an<an+1对任何n∈N*都成立.
(Ⅱ)证明:由ak+12+ak+1-1=ak2,k=1,2,…,n-1(n≥2), 得an2+(a2+a3+…+an)-(n-1)=a12. 因为a1=0,所以Sn=n-1-an2. 由an<an+1及an+1=1+an2-2an+12<1得an<1, 所以Sn>n-2. |
举一反三
若f(n)为n2+1(n∈N*)的各位数字之和,如142+1=197,1+9+7=17,则f(14)=17;记f1(n)=f(n),f2(n)=f(f1(n)),…,fk+1(n)=f(fk(n)),k∈N*,则f2008(8)=( ) |
已知数列{an}中,对一切自然数n,都有an∈(0,1)且an•an+12+2an+1-an=0.求证: (1)an+1<anSn; (2)若Sn表示数列{an}的前n项之和,则Sn<2a1. |
在m(m≥2)个不同数的排列P1P2…Pn中,若1≤i<j≤m时Pi>Pj(即前面某数大于后面某数),则称Pi与Pj构成一个逆序.一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数.记排列(n+1)n(n-1)…321的逆序数为an,如排列21的逆序数a1=1,排列321的逆序数a3=6. (Ⅰ)求a4、a5,并写出an的表达式; (Ⅱ)令bn=+,证明2n<b1+b2+…+bn<2n+3,n=1,2,…. |
已知数列{an}满足:an+1=an+()n+1(n∈N*),且a1=1;设bn=an-. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)若cn=2n-1(n∈N*),求数列{bn•cn}的前n项和Sn. |
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