已知数列{an}的前n项和为Sn，满足an≠0，anSn+1-an+1Sn=2n-1an+1an，n∈N*（1）求证Sn=2n-1an（2）设bn=anan+1

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已知数列{an}的前n项和为Sn，满足an≠0，anSn+1-an+1Sn=2n-1an+1an，n∈N*（1）求证Sn=2n-1an（2）设bn=anan+1

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已知数列{an}的前n项和为Sn，满足an≠0，anSn+1-an+1Sn=2n-1an+1an，n∈N*
（1）求证Sn=2n-1an
（2）设bn=
an
an+1
求数列{bn}的前n项和Tn．
答案
（1）证明：∵an≠0，anSn+1-an+1Sn=2n-1an+1an，n∈N*
∴
Sn+1
an+1
-
Sn
an
=2n-1
令cn=
Sn
an
，则cn+1-cn=2n-1
利用叠加法可得：cn-c1=20+21+…+2n-2=
1-2n-1
1-2
=2n-1-1
∵c1=
S1
a1
=1，∴cn=2n-1
∴Sn=2n-1an；
（2）由（1）知，Sn+1=2nan+1
两式相减可得an+1=2nan+1-2n-1an
∴bn=
an
an+1
=
2n-1
2n-1
=2(1-
1
2n
)
∴Tn=
n
2
-2(
1
2
+
1
22
+…+
1
2n
)=
n-4
2
+
1
2n-1
．
举一反三
设f（x）是定义在R上恒不为零的函数，对任意的实数x，y∈R，都有f（x）•f（y）=f（x+y），若a1=
1
2
，an=f（n），（n∈N*），则数列{an}的前n项和Sn的最小值是 （　　）
A．
3
4
B．2C．
1
2
D．1
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已知数列{an}满足a1=1，an+1=（1+cos2
nπ
2
）an+sin2
nπ
2
，n∈N*．
（1）求a2，a3，a4，并求出数列{an}的通项公式；
（2）设bn=
a2n
a2n-1
，Sn=b1+b2+…+bn，求证：Sn≤n+
5
3
．
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已知单调递增的等比数列{an}满足a2+a3+a4=28，a3+2是a2，a4的等差中项．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn=-nan，求数列{bn}的前n项和Sn．
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设无穷等差数列{an}的前n项和为Sn．
（1）若数列首项为a1=
3
2
，公差d=1，求满足Sk2=（Sk）2的正整数k的值；
（2）若Sn=n2，求通项an；
（3）求所有无穷等差数列{an}，使得对于一切正整数k都有Sk2=（Sk）2成立．
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数列{an}满足an=
n(n+1)
2
（n∈N*），则
1
a1
+
1
a2
+…+
1
a2013
等于______．
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