给定有限个正数满足条件T：每个数都不大于50且总和L=1275。现将这些数按下列要求进行分组，每组数之和不大于150且分组的步骤是：首先，从这些数中选择这样一些

题型：北京高考真题难度：来源：

给定有限个正数满足条件T：每个数都不大于50且总和L=1275。现将这些数按下列要求进行分组，每组数之和不大于150且分组的步骤是：
首先，从这些数中选择这样一些数构成第一组，使得150与这组数之和的差r₁与所有可能的其他选择相比是最小的，r₁称为第一组余差；
然后，在去掉已选入第一组的数后，对余下的数按第一组的选择方式构成第二组，这时的余差为r₂；如此继续构成第三组（余差为r₃）、第四组（余差为r₄）、……，直至第N组（余差为r_N）把这些数全部分完为止。
（Ⅰ）判断r₁，r₂，…，r_N的大小关系，并指出除第N组外的每组至少含有几个数；
（Ⅱ）当构成第n（n＜N）组后，指出余下的每个数与r_n的大小关系，并证明；
（Ⅲ）对任何满足条件T的有限个正数，证明：N≤11。

答案

解：（Ⅰ）。
除第N组外的每组至少含有个数；
（Ⅱ）当第n组形成后，因为n＜N，所以还有数没分完，这时余下的每个数必大于余差r_n，
余下数之和也大于第n组的余差r_n，
即，
由此可得，
因为，
所以；
（Ⅲ）用反证法证明结论，假设N＞11，即第11组形成后，还有数没分完，由（Ⅰ）和（Ⅱ）可知，余下的每个数都大于第11组的余差r₁₁，且，
故余下的每个数， （*）
因为第11组数中至少含有3个数，所以第11组数之和大于，
此时第11组的余差，
这与（*）式中矛盾，
所以N≤11。