已知m,n∈R,且m+2n=2,则m•2m+n•22n+1的最小值为______.

已知m,n∈R,且m+2n=2,则m•2m+n•22n+1的最小值为______.

题型:江苏二模难度:来源:
已知m,n∈R,且m+2n=2,则m•2m+n•22n+1的最小值为______.
答案
∵2n=2-m
∴f(m)=m•2m+n•22n+1=m•2m+(2-m)•22-m
令g(m)=m•2m,h(m)=(2-m)•22-m
当m≤0时,h(m)为增函数,且h(m)≥h(0)=8
g(m)=-|m|•2-|m|由于从y=x与y=2x的图象易知,|m|≤2|m|,所以|m|•2-|m|≤1,
g(m)=-|m|•2-|m|≥-1
f(m)=g(m)+h(m)≥-1+8=7
当m≥2时,由g(m)与h(m)关于x=1对称,同上可得f(m)≥7
当 0<m<2时,g(0)=h(2)=0,g(2)=h(0)=8
g"(m)=(mln2+1)2m>0,h"(m)=-[(2-m)ln2+1]22-m<0 且g"(m),h"(m)均为单调递增
当0<m<1时,g"(m)<g"(1)=2(ln2+1),h"(m)<h(1)=-2(2ln2+1),
f′(m)=g"(m)+h"(m)<0单调递减
当1≤m<2时,同理,可得f′(m)=g"(m)+h"(m)≥g"(1)+h"(1)=0单调递增(当m=1时等号成立)
所以当m=1时,f(m)取最小值,
即当m=1,n=
1
2
时,m•2m+n•22n+1的最小值为4
故答案为:4
举一反三
已知x>0,y>0,且x+y=2,则
1
x
+
4
y
的最小值为(  )
A.4B.
9
2
C.8D.9
题型:河北区一模难度:| 查看答案
若x>0,设(
x
2
+
1
x
)5
的展开式中的第三项为M,第四项为N,则M+N的最小值为 ______.
题型:遂宁二模难度:| 查看答案
已知三点A(a,0)、B(0,b),C(4,1)共线,其中a•b>0,则a+b的最小值为(  )
A.8B.7


2
C.9D.10


2
题型:大连一模难度:| 查看答案
已知x>1,函数f(x)=x+
1
x-1
的最小值是______.
题型:蓝山县模拟难度:| 查看答案
函数f(x)=2x+
1
2x-3
(x<
3
2
)的最大值是______.
题型:不详难度:| 查看答案
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